Номер 296, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 296, страница 89.

Условие.

296 □ В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектрисы равных углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что угол $BOC$ равен внешнему углу треугольника при вершине $B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором по условию равны углы $\angle B$ и $\angle C$. Пусть $BO$ и $CO$ — биссектрисы этих углов, которые пересекаются в точке $O$. Нам необходимо доказать, что угол $BOC$ равен внешнему углу треугольника при вершине $B$.

Внешний угол треугольника при вершине $B$, смежный с внутренним углом $\angle ABC$, равен разности $180^\circ$ и величины внутреннего угла. Обозначим внешний угол как $\angle B_{внеш}$. Таким образом:
$\angle B_{внеш} = 180^\circ - \angle ABC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.

Поскольку $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$ соответственно, они делят эти углы пополам:
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ и $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов треугольника $BOC$:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = 180^\circ$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Заменив в уравнении $\angle ACB$ на равный ему $\angle ABC$, получим:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ABC = 180^\circ$.

Упростим это выражение:
$\angle BOC + \angle ABC = 180^\circ$.

Отсюда выразим угол $\angle BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle ABC$.

Сравнивая полученное выражение для $\angle BOC$ с выражением для внешнего угла при вершине $B$, которое мы нашли вначале ($\angle B_{внеш} = 180^\circ - \angle ABC$), мы видим, что они тождественно равны.
Следовательно, $\angle BOC = \angle B_{внеш}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.