Номер 297, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 297, страница 89.

Условие.

297. На стороне $AD$ треугольника $ADC$ отмечена точка $B$ так, что $BC = BD$. Докажите, что прямая $DC$ параллельна биссектрисе угла $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию задачи, $BC = BD$. Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим эти углы через $\alpha$:

$\angle BCD = \angle BDC = \alpha$.

Угол $\angle ABC$ является внешним углом треугольника $BCD$ при вершине $B$, так как он смежен с внутренним углом $\angle CBD$ (точки $A$, $B$, $D$ лежат на одной прямой).

По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ABC = \angle BCD + \angle BDC = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Пусть $BK$ — биссектриса угла $\angle ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:

$\angle KBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(2\alpha) = \alpha$.

Теперь сравним углы $\angle KBC$ и $\angle BCD$. Мы получили, что $\angle KBC = \alpha$ и $\angle BCD = \alpha$. Таким образом, $\angle KBC = \angle BCD$.

Углы $\angle KBC$ и $\angle BCD$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $BK$ и $DC$ секущей $BC$.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $BK$ параллельна прямой $DC$.

Таким образом, доказано, что прямая $DC$ параллельна биссектрисе ($BK$) угла $\angle ABC$.

Ответ: Доказано, что прямая $DC$ параллельна биссектрисе угла $ABC$.