Номер 301, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 301, страница 90.

Условие.

301 Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные $AM_1$ и $AM_2$. Докажите, что:

a) если $HM_1 = HM_2$, то $AM_1 = AM_2$;

б) если $HM_1 < HM_2$, то $AM_1 < AM_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть из точки А, не лежащей на прямой a, проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Это означает, что точка H (основание перпендикуляра), а также точки M₁ и M₂ (основания наклонных) лежат на прямой a. Отрезок AH является перпендикуляром к прямой a, следовательно, треугольники $\triangle AHM_1$ и $\triangle AHM_2$ являются прямоугольными с общим катетом AH.

а)

Докажем, что если проекции наклонных равны ($HM_1 = HM_2$), то и сами наклонные равны ($AM_1 = AM_2$). Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHM_1$ и $\triangle AHM_2$.

1. Катет AH — общий для обоих треугольников.

2. Катеты $HM_1$ и $HM_2$ равны по условию ($HM_1 = HM_2$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHM_1$ и $\triangle AHM_2$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $AM_1 = AM_2$.

Этот же результат можно получить с помощью теоремы Пифагора. Для $\triangle AHM_1$ и $\triangle AHM_2$ она записывается так:

$AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$

$AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$

Поскольку $HM_1 = HM_2$, то и $HM_1^2 = HM_2^2$. Так как $AH$ — общая сторона, правые части уравнений равны. Значит, равны и левые части: $AM_1^2 = AM_2^2$. Так как длины отрезков — положительные величины, то $AM_1 = AM_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $HM_1 = HM_2$, то $AM_1 = AM_2$.

б)

Докажем, что если проекция одной наклонной меньше проекции другой ($HM_1 < HM_2$), то и сама наклонная меньше другой ($AM_1 < AM_2$).

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle AHM_1$ и $\triangle AHM_2$:

$AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$

$AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$

По условию $HM_1 < HM_2$. Поскольку длины отрезков — положительные числа, то при возведении в квадрат неравенство сохраняется: $HM_1^2 < HM_2^2$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства положительное число $AH^2$:

$AH^2 + HM_1^2 < AH^2 + HM_2^2$

Заменяя суммы квадратов катетов на квадраты гипотенуз, получаем:

$AM_1^2 < AM_2^2$

Так как длины наклонных $AM_1$ и $AM_2$ — положительные величины, извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:

$AM_1 < AM_2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $HM_1 < HM_2$, то $AM_1 < AM_2$.