Номер 305, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 305, страница 90.

Условие.

305 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$ и произвольная точка $P$, лежащая внутри него. Необходимо доказать, что сумма расстояний от точки $P$ до вершин треугольника меньше его периметра, то есть $PA + PB + PC < AB + BC + CA$.

Для доказательства используем метод, основанный на неравенстве треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

1. Продлим один из отрезков, соединяющих точку $P$ с вершиной, например $BP$, до пересечения со стороной $AC$. Обозначим точку пересечения как $D$.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника:

$AB + AD > BD$

Поскольку точка $P$ лежит на отрезке $BD$, то $BD = BP + PD$. Подставим это выражение в неравенство:

$AB + AD > BP + PD$ (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник $CDP$. Снова применим неравенство треугольника:

$CD + PD > PC$ (2)

4. Сложим левые и правые части неравенств (1) и (2):

$(AB + AD) + (CD + PD) > (BP + PD) + PC$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$AB + (AD + CD) + PD > BP + PC + PD$

Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то $AD + CD = AC$. Заменим эту сумму в неравенстве:

$AB + AC + PD > BP + PC + PD$

Вычтем $PD$ из обеих частей неравенства, при этом знак неравенства не изменится:

$AB + AC > BP + PC$

Мы доказали, что сумма расстояний от точки $P$ до двух вершин ($B$ и $C$) меньше суммы двух сторон треугольника, выходящих из третьей вершины ($A$).

5. Аналогично, мы можем доказать еще два неравенства, продлевая отрезки $AP$ и $CP$:

• $BC + AB > PA + PC$
• $CA + BC > PA + PB$

6. Теперь сложим все три полученных неравенства:

$(AB + AC) + (BC + AB) + (CA + BC) > (BP + PC) + (PA + PC) + (PA + PB)$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$2AB + 2BC + 2CA > 2PA + 2PB + 2PC$

$2(AB + BC + CA) > 2(PA + PB + PC)$

7. Разделим обе части неравенства на 2:

$AB + BC + CA > PA + PB + PC$

Это и есть доказываемое утверждение. Сумма расстояний от точки $P$ до вершин треугольника $ABC$ меньше периметра этого треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.