Номер 310, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 310, страница 90.

Условие.

310 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Пусть даны два равных треугольника: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, а также $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$. Проведем высоту $BH$ к стороне $AC$ в треугольнике $\triangle ABC$ и высоту $B_1H_1$ к равной ей стороне $A_1C_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:

$BH = B_1H_1$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Поскольку $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, то углы $\angle BHA$ и $\angle B_1H_1A_1$ прямые, то есть $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные.

В этих прямоугольных треугольниках:

1. Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответствующие стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. Острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответствующие углы в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $BH$ в $\triangle ABH$ соответствует катету $B_1H_1$ в $\triangle A_1B_1H_1$. Следовательно, $BH = B_1H_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, действительно равны.