Номер 316, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 316, страница 91.

Условие.

316* ☐ Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть искомый треугольник — $ABC$. По условию задачи нам даны три элемента:

• длина стороны $c$; пусть это будет сторона $AB$;
• длина высоты $h_c$, проведённой к этой стороне; это высота из вершины $C$ на прямую $AB$;
• длина медианы $m_b$, проведённой к одной из двух других сторон; пусть это будет медиана из вершины $B$ к стороне $AC$.

Требуется построить треугольник $ABC$ по заданным отрезкам $c$, $h_c$ и $m_b$. Решение задачи состоит из четырёх стандартных этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AB$ — данная сторона длиной $c$, $CH$ — высота к ней ($CH = h_c$), $BM$ — медиана к стороне $AC$ ($BM = m_b$), где $M$ — середина стороны $AC$.

Вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h_c$. Геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой на заданное расстояние, являются две параллельные прямые. Будем рассматривать одну из них, назовем ее $l$. Таким образом, точка $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AB$ и находящейся на расстоянии $h_c$ от нее.

Рассмотрим точку $M$ — середину стороны $AC$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая будет средней линией для треугольника, образованного стороной $AC$ и высотой $CH$ (с дополнением до трапеции, если необходимо). Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно половине расстояния от точки $C$ до прямой $AB$, то есть $h_c/2$. Таким образом, точка $M$ лежит на прямой $l'$, параллельной $AB$ и находящейся на расстоянии $h_c/2$ от нее (в той же полуплоскости, что и $l$).

С другой стороны, точка $M$ является концом медианы $BM$, проведенной из вершины $B$. Длина этой медианы равна $m_b$. Это означает, что точка $M$ удалена от точки $B$ на расстояние $m_b$. Геометрическим местом таких точек является окружность с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Следовательно, точка $M$ является точкой пересечения двух геометрических мест: прямой $l'$ (параллельной $AB$ на расстоянии $h_c/2$) и окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$. Найдя точку $M$, мы можем однозначно определить положение вершины $C$, так как $M$ — середина $AC$. Точка $C$ симметрична точке $A$ относительно точки $M$.

Этот анализ определяет последовательность шагов для построения.

Построение

1. На произвольной прямой отложить отрезок $AB$, равный данной длине $c$.
2. Построить прямую $l'$, параллельную прямой $AB$ и находящуюся на расстоянии $h_c/2$ от нее. Для этого нужно:
   • Провести в любой точке прямой $AB$ перпендикуляр.
   • Отложить на нем отрезок длины $h_c$ и найти его середину (построив серединный перпендикуляр).
   • Через полученную точку провести прямую, параллельную $AB$. Это и будет прямая $l'$.
3. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине медианы $m_b$.
4. Найти точку (или точки) пересечения $M$ построенной окружности и прямой $l'$. Если точек пересечения нет, задача не имеет решения. Выберем одну из точек пересечения.
5. Провести луч $AM$.
6. На луче $AM$ за точкой $M$ отложить отрезок $MC$, равный $AM$. Точка $C$ будет третьей вершиной треугольника.
7. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ имеет длину $c$ по построению.
• По построению точка $M$ является серединой отрезка $AC$, следовательно, отрезок $BM$ — медиана треугольника $ABC$. Ее длина равна $m_b$, так как точка $M$ была построена на окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$.
• Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ по построению равно $h_c/2$. Так как $M$ — середина $AC$, то расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ (т.е. высота $h_c$) вдвое больше расстояния от точки $M$ до прямой $AB$. Следовательно, высота, опущенная из $C$ на $AB$, равна $2 \cdot (h_c/2) = h_c$.

Таким образом, все условия задачи выполнены, и построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Ключевым шагом построения является нахождение точки $M$ как пересечения прямой $l'$ и окружности. Решение задачи зависит от их взаимного расположения. Расстояние от центра окружности (точки $B$, лежащей на прямой $AB$) до прямой $l'$ равно $h_c/2$.

• Если $m_b < h_c/2$, радиус окружности меньше расстояния от ее центра до прямой $l'$. В этом случае окружность и прямая не пересекаются, и задача не имеет решений.
• Если $m_b = h_c/2$, окружность касается прямой $l'$ в одной точке. Эта точка $M$ является основанием перпендикуляра, опущенного из $B$ на $l'$. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до симметрии относительно прямой $AB$).
• Если $m_b > h_c/2$, окружность пересекает прямую $l'$ в двух точках ($M_1$ и $M_2$). Каждая из этих точек порождает свое решение — треугольники $ABC_1$ и $ABC_2$. В общем случае эти два треугольника не являются конгруэнтными.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие $m_b \ge h_c/2$.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. Задача имеет решение, если длина медианы не меньше половины длины высоты, т.е. $m_b \ge h_c/2$. При $m_b = h_c/2$ решение единственно, при $m_b > h_c/2$ существует два различных решения (два неконгруэнтных треугольника).