Номер 320, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 320, страница 91.

Условие.

320* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения треугольника по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне, воспользуемся методом геометрических мест. Пусть нам даны три отрезка: сторона $a$, высота $h_a$ и медиана $m_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, высота $AH = h_a$ ($H$ — основание высоты на прямой $BC$), и медиана $AM = m_a$ ($M$ — середина стороны $BC$).

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — данная сторона, $AH$ — высота, $AM$ — медиана. Точка $H$ (основание высоты) и точка $M$ (основание медианы) лежат на прямой, содержащей сторону $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $AM$ равна данной медиане $m_a$.
• Катет $AH$ равен данной высоте $h_a$.

Этот треугольник мы можем построить по катету и гипотенузе. Построив его, мы найдем положение вершины $A$ относительно точек $H$ и $M$ на прямой, содержащей основание $BC$.

Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $HM$ на расстоянии $a/2$ от точки $M$ в разные стороны. Таким образом, определив положение точек $A$ и $M$, мы можем однозначно найти вершины $B$ и $C$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$.
2. Выберем на ней произвольную точку $H$.
3. Через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
4. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $AH$, равный по длине данной высоте $h_a$. Точка $A$ — одна из вершин искомого треугольника.
5. Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом, равным длине данной медианы $m_a$.
6. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначим $M$. (Если $m_a > h_a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$. Выбираем любую из них, так как это приведет к построению конгруэнтных треугольников). Мы получили прямоугольный треугольник $AHM$.
7. Из точки $M$ как из центра проведем окружность радиусом, равным половине длины данной стороны, то есть $a/2$.
8. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначим $B$ и $C$.
9. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с алгоритмом.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ лежит на прямой $l$.

• По построению, $M$ — центр окружности, на которой лежат точки $B$ и $C$, и $MB = MC = a/2$. Следовательно, $BC = MB + MC = a/2 + a/2 = a$. Длина стороны верна.
• По построению, $AH \perp l$, значит $AH$ — высота треугольника, опущенная на сторону $BC$. Длина $AH$ равна $h_a$. Длина высоты верна.
• По построению, $M$ — середина отрезка $BC$. Значит, отрезок $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. Длина $AM$ по построению равна $m_a$. Длина медианы верна.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных значениях $a$, $h_a$ и $m_a$.

Ключевым шагом является построение прямоугольного треугольника $AHM$ (пункты 5-6). В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. В нашем случае $AM$ — гипотенуза, а $AH$ — катет. Следовательно, для существования такого треугольника необходимо выполнение условия $m_a \ge h_a$.

• Если $m_a > h_a$, окружность из пункта 5 пересечет прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно точки $H$. Выбор любой из этих точек для $M$ приведет к построению одного из двух симметричных (конгруэнтных) треугольников. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $m_a = h_a$, то точки $M$ и $H$ совпадают. Медиана и высота, проведенные к стороне $BC$, совпадают, что означает, что треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB = AC$). Задача имеет решение.
• Если $m_a < h_a$, окружность из пункта 5 не пересечет прямую $l$, и точку $M$ построить невозможно. В этом случае задача не имеет решений.

Длина стороны $a$ ($a>0$) не влияет на существование решения, а только на размеры и форму искомого треугольника.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда длина медианы не меньше длины высоты ($m_a \ge h_a$).