Номер 326, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 326, страница 92.

Условие.

326 Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства будем использовать метод от противного. Предположим, что не все шесть прямых проходят через одну точку.

Это предположение влечет за собой два следствия, которые мы докажем в виде лемм.

Лемма 1: Если не все прямые проходят через одну точку, то каждая прямая содержит по крайней мере две точки пересечения.
Доказательство: Пусть некоторая прямая $l_1$ содержит только одну точку пересечения $P$. Остальные пять прямых ($l_2, l_3, l_4, l_5, l_6$) должны пересечь прямую $l_1$. Точки их пересечения с $l_1$ являются точками пересечения из общего множества всех точек пересечения. Поскольку на $l_1$ есть только одна такая точка $P$, все пять прямых $l_2, \dots, l_6$ должны пересекать $l_1$ именно в точке $P$. Это означает, что все шесть прямых ($l_1, \dots, l_6$) проходят через точку $P$. Но это противоречит нашему исходному предположению, что не все прямые проходят через одну точку. Следовательно, если не все прямые проходят через одну точку, то на каждой прямой должно быть как минимум две точки пересечения.

Лемма 2: Если не все прямые проходят через одну точку, то все точки пересечения лежат на одной прямой.
Доказательство: Обозначим множество прямых $L = \{l_1, \dots, l_6\}$, а множество точек их пересечения $S$. Если не все прямые проходят через одну точку, то множество $S$ содержит более одного элемента, то есть $|S| > 1$. Если не все точки из $S$ лежат на одной прямой, то существуют по крайней мере одна точка $p_0 \in S$ и одна прямая $l_0 \in L$ такие, что $p_0$ не лежит на $l_0$.
Рассмотрим все пары $(p, l)$, где $p \in S$ и $l \in L$, причем точка $p$ не лежит на прямой $l$. Так как мы предположили, что такие пары существуют, и их конечное число, выберем из них пару $(p_0, l_0)$, для которой расстояние от точки до прямой минимально и положительно.
По условию задачи, через любую точку пересечения (в том числе $p_0$) проходят по крайней мере три прямые. Обозначим три из них, проходящие через $p_0$, как $a, b, c$. Эти три прямые пересекают прямую $l_0$ в точках $P_a, P_b, P_c$ соответственно. Эти точки также являются точками пересечения из множества $S$.
Пусть $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $p_0$ на прямую $l_0$. Длина этого перпендикуляра $d(p_0, l_0) = |p_0 F|$ является минимальным ненулевым расстоянием. Точки $P_a, P_b, P_c$ лежат на прямой $l_0$. По крайней мере две из этих трех точек должны лежать по одну сторону от точки $F$ (или одна из них совпадает с $F$). Без ограничения общности, пусть это точки $P_a$ и $P_b$, причем $P_a$ лежит между $F$ и $P_b$.
Рассмотрим точку $P_a$ и прямую $b$ (которая проходит через $p_0$ и $P_b$). Точка $P_a$ не лежит на прямой $b$, иначе прямые $a$ и $b$ имели бы две общие точки ($p_0$ и $P_a$), что невозможно, так как это разные прямые. Таким образом, пара $(P_a, b)$ является одной из рассматриваемых пар «точка-прямая», и для нее должно выполняться неравенство $d(P_a, b) \ge d(p_0, l_0)$.
Рассмотрим треугольник $\triangle p_0 P_a P_b$. Расстояние $d(p_0, l_0)$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $p_0$ на прямую $l_0$. Расстояние $d(P_a, b)$ — это высота, опущенная из вершины $P_a$ на прямую $b$.
Сравним эти расстояния. В прямоугольном треугольнике $\triangle p_0 F P_b$ катет $|p_0 F|$ короче гипотенузы $|p_0 P_b|$. Поскольку точка $P_a$ лежит между $F$ и $P_b$, отрезок $|P_a P_b|$ короче отрезка $|F P_b|$. Таким образом, $|P_a P_b| < |F P_b| < |p_0 P_b|$.
Площадь треугольника $\triangle p_0 P_a P_b$ можно выразить двумя способами:$A = \frac{1}{2} |P_a P_b| \cdot d(p_0, l_0)$ и $A = \frac{1}{2} |p_0 P_b| \cdot d(P_a, b)$. Приравнивая эти выражения, получаем: $|P_a P_b| \cdot d(p_0, l_0) = |p_0 P_b| \cdot d(P_a, b)$. Отсюда $d(P_a, b) = d(p_0, l_0) \cdot \frac{|P_a P_b|}{|p_0 P_b|}$.
Так как мы показали, что $|P_a P_b| < |p_0 P_b|$, то дробь $\frac{|P_a P_b|}{|p_0 P_b|} < 1$. Следовательно, $d(P_a, b) < d(p_0, l_0)$.
Это противоречит нашему выбору пары $(p_0, l_0)$ как пары с минимальным расстоянием. Значит, исходное предположение (о том, что не все точки пересечения лежат на одной прямой) неверно. Все точки пересечения должны быть коллинеарны.

Теперь мы можем завершить доказательство. Из Леммы 2 следует, что все точки пересечения лежат на некоторой прямой $g$. Из Леммы 1 следует, что каждая из шести данных прямых должна проходить как минимум через две точки пересечения. Поскольку все точки пересечения лежат на прямой $g$, любая прямая, проходящая через две из них, должна совпадать с прямой $g$. Следовательно, каждая из шести данных прямых должна совпадать с прямой $g$. Но это противоречит тому, что даны шесть различных попарно пересекающихся прямых.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что не все прямые проходят через одну точку) было неверным. Таким образом, все шесть прямых проходят через одну точку.

Ответ: Все данные прямые проходят через одну точку.