Номер 328, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 328, страница 92.

Условие.

328 Точки $C_1$ и $C_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ и расположены так, что $AC_1 = BC_2$ и $\angle BAC_1 = \angle ABC_2$. Докажите, что прямая $C_1C_2$ проходит через середину отрезка $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть прямая $C_1C_2$ пересекает прямую $AB$ в точке $O$. Поскольку точки $C_1$ и $C_2$ по условию лежат по разные стороны от прямой $AB$, то точка пересечения $O$ будет лежать на отрезке $AB$. Для доказательства утверждения задачи нам необходимо показать, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$, то есть что $AO = BO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_2$.

Из условия задачи нам известно:
1. $AC_1 = BC_2$.
2. $\angle BAC_1 = \angle ABC_2$. Так как точка $O$ лежит на прямой $AB$, эти углы можно записать как $\angle OAC_1 = \angle OBC_2$.

Кроме того, углы $\angle AOC_1$ и $\angle BOC_2$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $C_1C_2$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку в треугольниках $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_2$ две пары углов соответственно равны ($\angle OAC_1 = \angle OBC_2$ и $\angle AOC_1 = \angle BOC_2$), то их третьи углы также должны быть равны:
$\angle AC_1O = 180^\circ - \angle OAC_1 - \angle AOC_1$
$\angle BC_2O = 180^\circ - \angle OBC_2 - \angle BOC_2$
Следовательно, $\angle AC_1O = \angle BC_2O$.

Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ). Сравним треугольники $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_2$:
- $\angle OAC_1 = \angle OBC_2$ (по условию);
- $AC_1 = BC_2$ (по условию);
- $\angle AC_1O = \angle BC_2O$ (доказано выше).

Сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, значит, $\triangle AOC_1 \cong \triangle BOC_2$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AO$ лежит напротив угла $\angle AC_1O$, а сторона $BO$ лежит напротив равного ему угла $\angle BC_2O$. Следовательно, $AO = BO$.

Равенство $AO = BO$ означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Таким образом, прямая $C_1C_2$, проходящая через точку $O$, проходит и через середину отрезка $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.