Номер 334, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 334, страница 93.

Условие.

334 Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим данный треугольник как $ABC$, а величины его внутренних углов при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Известно, что сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Рассмотрим прямую, проведенную через вершину $A$ перпендикулярно биссектрисе ее внутреннего угла. Биссектриса угла $A$ делит его на два угла по $\frac{\alpha}{2}$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе, образует со сторонами $AB$ и $AC$ углы, равные $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Внешний угол при вершине $A$ равен $180^\circ - \alpha$. Биссектриса этого внешнего угла образует со стороной $AC$ (и с продолжением стороны $AB$) угол, равный $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Это означает, что прямая, проведенная через вершину $A$ перпендикулярно биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой внешнего угла при вершине $A$. Аналогичное утверждение справедливо для прямых, проведенных через вершины $B$ и $C$.

Пусть $l_A, l_B, l_C$ — это прямые, проведенные через вершины $A, B, C$ перпендикулярно соответствующим биссектрисам внутренних углов. Как мы установили, это биссектрисы внешних углов треугольника $ABC$. По условию, эти прямые вместе со сторонами исходного треугольника образуют три новых треугольника. Определим их:

• Первый треугольник $\triangle A'BC$ образуется стороной $BC$ и прямыми $l_B$ и $l_C$, где $A'$ — точка их пересечения.
• Второй треугольник $\triangle AB'C$ образуется стороной $AC$ и прямыми $l_A$ и $l_C$, где $B'$ — точка их пересечения.
• Третий треугольник $\triangle ABC'$ образуется стороной $AB$ и прямыми $l_A$ и $l_B$, где $C'$ — точка их пересечения.

(Точки $A'$, $B'$, $C'$ являются центрами вневписанных окружностей треугольника $ABC$).

Найдем углы каждого из этих трех треугольников, чтобы доказать, что они соответственно равны.

В треугольнике $\triangle A'BC$ угол при вершине $B$ образован стороной $BC$ и биссектрисой $l_B$ внешнего угла $\angle B$, поэтому $\angle A'BC = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$. Аналогично, угол при вершине $C$ равен $\angle A'CB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$. Третий угол, $\angle BA'C$, находим из суммы углов треугольника: $\angle BA'C = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \frac{\beta + \gamma}{2}$. Так как $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$, то $\angle BA'C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, углы $\triangle A'BC$ равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ и $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$.

В треугольнике $\triangle AB'C$ угол при вершине $A$ равен $\angle B'AC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, а угол при вершине $C$ равен $\angle ACB' = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$. Третий угол $\angle AB'C = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \frac{\alpha + \gamma}{2} = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$. Углы $\triangle AB'C$ также равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ и $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$.

В треугольнике $\triangle ABC'$ угол при вершине $A$ равен $\angle C'AB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, а угол при вершине $B$ равен $\angle ABC' = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$. Третий угол $\angle AC'B = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$. И углы $\triangle ABC'$ равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ и $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$.

Мы показали, что все три образовавшихся треугольника имеют один и тот же набор углов: $\{90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\}$. Это означает, что углы этих треугольников соответственно равны.

Ответ: Углы каждого из трех образовавшихся треугольников равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ и $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — углы исходного треугольника. Поскольку наборы углов для всех трех треугольников одинаковы, их углы соответственно равны, что и требовалось доказать.