Номер 340, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 340, страница 93.

Условие.

340. Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $AD=AB$. Докажите, что $AC > AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства неравенства $AC > AB$ воспользуемся свойством углов и сторон в треугольнике: против большего угла лежит большая сторона. Учитывая, что по условию $AD = AB$, задача сводится к доказательству неравенства $AC > AD$. Для этого рассмотрим треугольник $ADC$ и докажем, что угол, лежащий против стороны $AC$, больше угла, лежащего против стороны $AD$. То есть, докажем, что $\angle ADC > \angle ACD$.

Продолжим отрезок $AD$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $E$. Так как точка $D$ находится внутри треугольника $ABC$, точка $E$ будет лежать между точками $B$ и $C$, а точка $D$ — между точками $A$ и $E$.

Рассмотрим треугольник $CDE$. Угол $\angle ADC$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$. Он образован стороной $CD$ и продолжением стороны $ED$ (отрезком $DA$).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. В треугольнике $CDE$ внутренними углами, не смежными с внешним углом $\angle ADC$, являются $\angle DCE$ и $\angle DEC$.

Следовательно, $\angle ADC > \angle DCE$.

Угол $\angle DCE$ является тем же углом, что и $\angle ACD$. Таким образом, мы установили, что $\angle ADC > \angle ACD$.

Теперь вернемся к треугольнику $ADC$. Поскольку в этом треугольнике угол $\angle ADC$ больше угла $\angle ACD$, то и сторона, лежащая против большего угла, длиннее. Сторона, лежащая против угла $\angle ADC$, — это $AC$, а сторона, лежащая против угла $\angle ACD$, — это $AD$.

Отсюда следует, что $AC > AD$.

Так как по условию задачи $AD = AB$, мы можем заменить $AD$ на $AB$ в полученном неравенстве:

$AC > AB$.

Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.