Номер 338, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 338, страница 93.

Условие.

338 Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$ соответственно ($a=|BC|, b=|AC|, c=|AB|$). Без ограничения общности, предположим, что $c$ — наибольшая сторона треугольника, то есть $c \ge a$ и $c \ge b$.

Рассмотрим отрезок $PQ$, концы которого лежат на разных сторонах треугольника $\triangle ABC$. Возможны три случая расположения точек $P$ и $Q$:
1) $P$ лежит на стороне $AC$, а $Q$ — на стороне $BC$.
2) $P$ лежит на стороне $AC$, а $Q$ — на стороне $AB$.
3) $P$ лежит на стороне $BC$, а $Q$ — на стороне $AB$.

Все случаи доказываются аналогично. Докажем утверждение для первого случая: $P \in AC$ и $Q \in BC$. Нам нужно доказать, что $|PQ| \le c = |AB|$.

Рассмотрим расстояние от точки $Q$ до точки $P$, которая движется по отрезку $AC$. Квадрат этого расстояния $|PQ|^2$ является непрерывной функцией от положения точки $P$ на отрезке $AC$. Максимум такой функции на отрезке достигается на одном из его концов. Следовательно, для любого фиксированного положения точки $Q$ на стороне $BC$, наибольшее значение длины отрезка $PQ$ будет достигаться, когда точка $P$ совпадает с одной из вершин $A$ или $C$.
Таким образом, для любой точки $P$ на отрезке $AC$ выполняется неравенство:$|PQ| \le \max(|AQ|, |CQ|)$.

Теперь нам нужно найти максимальное значение величины $\max(|AQ|, |CQ|)$, когда точка $Q$ перемещается по стороне $BC$. Это эквивалентно нахождению максимума из двух величин: $\max_{Q \in BC} |AQ|$ и $\max_{Q \in BC} |CQ|$.

1. Найдём $\max_{Q \in BC} |AQ|$. Аналогично предыдущему рассуждению, расстояние от фиксированной точки $A$ до точки $Q$, движущейся по отрезку $BC$, достигает своего максимума в одном из концов отрезка $BC$, то есть в точках $B$ или $C$.
Следовательно, $\max_{Q \in BC} |AQ| = \max(|AB|, |AC|) = \max(c, b)$.

2. Найдём $\max_{Q \in BC} |CQ|$. Когда точка $Q$ движется по отрезку $BC$, её расстояние до конца отрезка, точки $C$, будет максимальным, когда $Q$ совпадёт с другим концом — точкой $B$.
Следовательно, $\max_{Q \in BC} |CQ| = |CB| = a$.

Объединяя эти результаты, получаем, что максимальная возможная длина отрезка $PQ$ (когда $P \in AC$ и $Q \in BC$) равна:
$\max_{P \in AC, Q \in BC} |PQ| = \max(\max_{Q \in BC} |AQ|, \max_{Q \in BC} |CQ|) = \max(\max(c, b), a) = \max(a, b, c)$.

По нашему первоначальному предположению, $c$ является наибольшей стороной треугольника, поэтому $\max(a, b, c) = c$.
Следовательно, для любых точек $P$ на $AC$ и $Q$ на $BC$ выполняется неравенство $|PQ| \le c$.

Аналогичные рассуждения для двух других случаев также приводят к выводу, что длина отрезка не превышает наибольшую из сторон треугольника.
Таким образом, доказано, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.