Номер 343, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 343, страница 93.

Условие.

343 Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $△ABC$ стороны $AB$ и $AC$ не равны. Для определенности предположим, что $AB < AC$. Пусть $AM$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Это означает, что $M$ — середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$. Нам нужно доказать, что угол, образованный медианой $AM$ с меньшей стороной $AB$, больше угла, образованного с большей стороной $AC$. То есть, необходимо доказать, что $∠BAM > ∠CAM$.

Доказательство

Выполним дополнительное построение. Продолжим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$, а по определению медианы $BM = MC$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $CD = AB$.

Также из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $AD$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $∠BAM$ и $∠ADC$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AD$. Следовательно, $∠BAM = ∠ADC$.

Теперь рассмотрим треугольник $△ACD$. В этом треугольнике сравним стороны $AC$ и $CD$. По условию задачи мы приняли, что $AB < AC$. А так как мы доказали, что $CD = AB$, то получаем неравенство $CD < AC$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В $△ACD$ сторона $AC$ больше стороны $CD$, следовательно, угол, лежащий против стороны $AC$ (то есть $∠ADC$), больше угла, лежащего против стороны $CD$ (то есть $∠CAD$). Таким образом, $∠ADC > ∠CAD$.

Теперь вернемся к исходным обозначениям. Мы установили, что $∠ADC = ∠BAM$, а $∠CAD$ — это тот же угол, что и $∠CAM$. Подставив эти равенства в полученное неравенство $∠ADC > ∠CAD$, мы получим: $∠BAM > ∠CAM$.

Это и требовалось доказать. Медиана, проведенная из общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

Ответ: Утверждение доказано.