Номер 349, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 349, страница 94.

Условие.

349 Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $B$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$ к стороне $AC$. По условию, они делят угол $\angle ABC$ на три равные части. Обозначим эти равные углы через $\alpha$.

Тогда $\angle ABH = \angle HBM = \angle MBC = \alpha$. Следовательно, $\angle ABC = 3\alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $BH$.

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ (где $\angle BHA = 90^\circ$):
Сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle A = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - \alpha$.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$ (где $\angle BHC = 90^\circ$):
Угол $\angle CBH = \angle HBM + \angle MBC = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
Сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle C = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - 2\alpha$.

Теперь воспользуемся тем, что $BM$ — медиана, и применим теорему синусов к треугольникам $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

В $\triangle ABM$ по теореме синусов имеем: $$ \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{BM}{\sin(\angle A)} $$ Угол $\angle ABM = \angle ABH + \angle HBM = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Подставим известные углы: $$ \frac{AM}{\sin(2\alpha)} = \frac{BM}{\sin(90^\circ - \alpha)} $$ $$ \frac{AM}{\sin(2\alpha)} = \frac{BM}{\cos(\alpha)} $$ Отсюда выразим $AM$: $$ AM = \frac{BM \cdot \sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{BM \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2 \cdot BM \cdot \sin(\alpha) $$

В $\triangle CBM$ по теореме синусов имеем: $$ \frac{MC}{\sin(\angle MBC)} = \frac{BM}{\sin(\angle C)} $$ Подставим известные углы: $$ \frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{BM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} $$ $$ \frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{BM}{\cos(2\alpha)} $$ Отсюда выразим $MC$: $$ MC = \frac{BM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} $$

Так как $BM$ — медиана, то $AM = MC$. Приравняем полученные выражения для $AM$ и $MC$: $$ 2 \cdot BM \cdot \sin(\alpha) = \frac{BM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} $$ Поскольку треугольник невырожденный, $BM \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$ (так как $\alpha$ - часть угла треугольника). Можем сократить обе части на $BM \cdot \sin(\alpha)$: $$ 2 = \frac{1}{\cos(2\alpha)} $$ $$ \cos(2\alpha) = \frac{1}{2} $$

Так как $\angle C = 90^\circ - 2\alpha$ является углом треугольника, то $90^\circ - 2\alpha > 0$, что означает $2\alpha < 90^\circ$. Единственное решение уравнения $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$ в этом диапазоне — это $2\alpha = 60^\circ$.

Отсюда следует, что $\alpha = 30^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle ABC$: $$ \angle ABC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ $$

Поскольку один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным.

Доказательство
Пусть в $\triangle ABC$ высота $BH$ и медиана $BM$ делят $\angle ABC$ на три равных угла, то есть $\angle ABH = \angle HBM = \angle MBC = \alpha$. Тогда $\angle ABC = 3\alpha$. В прямоугольном $\triangle ABH$: $\angle A = 90^\circ - \alpha$. В прямоугольном $\triangle CBH$: $\angle CBH = 2\alpha$, следовательно $\angle C = 90^\circ - 2\alpha$. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. По теореме синусов: В $\triangle ABM$: $\frac{AM}{\sin(2\alpha)} = \frac{BM}{\sin(90^\circ - \alpha)} \implies AM = \frac{BM \cdot 2\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} = 2BM\sin\alpha$. В $\triangle CBM$: $\frac{MC}{\sin\alpha} = \frac{BM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} \implies MC = \frac{BM \sin\alpha}{\cos(2\alpha)}$. Так как $BM$ - медиана, $AM=MC$: $2BM\sin\alpha = \frac{BM \sin\alpha}{\cos(2\alpha)}$. Сокращая на $BM\sin\alpha \neq 0$, получаем $2 = \frac{1}{\cos(2\alpha)}$, откуда $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$. Поскольку $2\alpha$ — острый угол, $2\alpha = 60^\circ$, и $\alpha=30^\circ$. Тогда $\angle ABC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.
Ответ: Треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.