Номер 348, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 348, страница 94.

Условие.

348 Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть его острые углы равны $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Известно, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta = 90^\circ$. По условию, катеты треугольника не равны ($AC \neq BC$), следовательно, и углы при гипотенузе не равны ($\alpha \neq \beta$).

Из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ проведем высоту $CH$, медиану $CM$ и биссектрису $CL$. Требуется доказать, что биссектриса $CL$ делит угол между высотой $CH$ и медианой $CM$ пополам, то есть $\angle HCL = \angle LCM$.

Для доказательства найдем величины углов, которые образуют высота, медиана и биссектриса с одним из катетов, например, с катетом $AC$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ угол $\angle ACH$ равен $90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$. Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\angle ACH = \beta$.

Медиана $CM$, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то есть $CM = AM = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, треугольник $\triangle AMC$ является равнобедренным ($CM=AM$). В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны: $\angle ACM = \angle A = \alpha$.

Биссектриса $CL$ по определению делит прямой угол $\angle C$ пополам, поэтому $\angle ACL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь, зная эти углы, мы можем найти $\angle HCL$ и $\angle LCM$. Предположим, без ограничения общности, что катет $AC$ короче катета $BC$. Тогда противолежащий ему угол $\beta$ меньше угла $\alpha$, т.е. $\beta < \alpha$. Из этого следует, что $\beta < 45^\circ$ и $\alpha > 45^\circ$.

Так как $\angle ACH = \beta < 45^\circ$ и $\angle ACM = \alpha > 45^\circ$, а $\angle ACL = 45^\circ$, то биссектриса $CL$ проходит между высотой $CH$ и медианой $CM$.

Угол между высотой и биссектрисой равен: $\angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 45^\circ - \beta$.

Угол между медианой и биссектрисой равен: $\angle LCM = \angle ACM - \angle ACL = \alpha - 45^\circ$.

Используем соотношение $\alpha = 90^\circ - \beta$ для преобразования выражения для $\angle LCM$: $\angle LCM = (90^\circ - \beta) - 45^\circ = 45^\circ - \beta$.

Таким образом, мы получили, что $\angle HCL = \angle LCM$. Это доказывает, что биссектриса $CL$ делит угол $\angle HCM$ пополам. В случае, если $\alpha < \beta$, доказательство аналогично, и результат будет тем же.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между высотой и биссектрисой $\angle HCL = 45^\circ - \beta$, а угол между медианой и биссектрисой $\angle LCM = \alpha - 45^\circ$. Поскольку для прямоугольного треугольника $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\alpha = 90^\circ - \beta$, и, следовательно, $\angle LCM = (90^\circ - \beta) - 45^\circ = 45^\circ - \beta$. Таким образом, $\angle HCL = \angle LCM$, что и требовалось доказать.