Номер 351, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 351, страница 94.

Условие.

351 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Решение

Даны три отрезка $M_1N_1$, $M_2N_2$, $M_3N_3$ (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник $ABC$, у которого две стороны, скажем $AB$ и $AC$, равны соответственно данным отрезкам $M_1N_1$ и $M_2N_2$, а высота $AH$ равна отрезку $M_3N_3$. Проведём решение задачи по описанной схеме.

Рис. 148

Анализ

Допустим, что искомый треугольник $ABC$ построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона $AB$ и высота $AH$ являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника $ABH$. Поэтому построение треугольника $ABC$ можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник $ABH$, а затем достроить его до всего треугольника $ABC$.

Построение

Строим прямоугольный треугольник $ABH$, у которого гипотенуза $AB$ равна отрезку $M_1N_1$, а катет $AH$ равен данному отрезку $M_3N_3$. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображён построенный треугольник $ABH$. Затем проводим окружность радиуса $M_2N_2$ с центром в точке $A$. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой $BH$ обозначим буквой $C$. Проведя отрезки $BC$ и $AC$, получим искомый треугольник $ABC$ (рис. 149, б).

Доказательство

Треугольник $ABC$ действительно искомый, так как по построению сторона $AB$ равна $M_1N_1$, сторона $AC$ равна $M_2N_2$, а высота $AH$ равна $M_3N_3$, т. е. треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках $M_1N_1$, $M_2N_2$, $M_3N_3$. В самом деле, если хотя бы один из отрезков $M_1N_1$ и $M_2N_2$ меньше $M_3N_3$, то задача не имеет решения, так как наклонные $AB$ и $AC$ не могут быть меньше перпендикуляра $AH$. Задача не имеет

Рис. 149

решения и в том случае, когда $M_1N_1 = M_2N_2 = M_3N_3$ (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если $M_1N_1 > M_3N_3$, а $M_2N_2 = M_3N_3$, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона $AC$ совпадает с высотой $AH$ и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если $M_1N_1 > M_3N_3$, а $M_2N_2 = M_1N_1$, то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник $ABC$ равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если $M_1N_1 > M_3N_3$, $M_2N_2 > M_3N_3$ и $M_1N_1 \ne M_2N_2$, то задача имеет два решения — треугольники $ABC$ и $ABC_1$ на рисунке 149, д.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Даны три отрезка $M_1N_1$, $M_2N_2$, $M_3N_3$ (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник $ABC$, у которого две стороны, скажем $AB$ и $AC$, равны соответственно данным отрезкам $M_1N_1$ и $M_2N_2$, а высота $AH$ равна отрезку $M_3N_3$. Проведём решение задачи по описанной схеме.

Анализ

Допустим, что искомый треугольник $ABC$ построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона $AB$ и высота $AH$ являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника $ABH$. Поэтому построение треугольника $ABC$ можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник $ABH$, а затем достроить его до всего треугольника $ABC$.
Ответ: Анализ построения показывает, что задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ABH$ по гипотенузе $AB$ и катету $AH$, а затем нахождению вершины $C$ на прямой $BH$.

Построение

Строим прямоугольный треугольник $ABH$, у которого гипотенуза $AB$ равна отрезку $M_1N_1$, а катет $AH$ равен данному отрезку $M_3N_3$. Затем проводим окружность радиуса $M_2N_2$ с центром в точке $A$. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой $BH$ обозначим буквой $C$. Проводя отрезки $BC$ и $AC$, получим искомый треугольник $ABC$ (рис. 149, б).
Ответ: Сначала строится прямоугольный треугольник $ABH$ по гипотенузе $AB = M_1N_1$ и катету $AH = M_3N_3$. Затем находится точка $C$ как пересечение прямой $BH$ и окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AC = M_2N_2$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Треугольник $ABC$ действительно искомый, так как по построению сторона $AB$ равна $M_1N_1$, сторона $AC$ равна $M_2N_2$, а высота $AH$ равна $M_3N_3$, т. е. треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям, так как $AB = M_1N_1$, $AC = M_2N_2$ и высота $AH = M_3N_3$ по построению.

Исследование

Задача имеет решение не при любых данных отрезках $M_1N_1$, $M_2N_2$, $M_3N_3$.

1. Если хотя бы один из отрезков $M_1N_1$ и $M_2N_2$ меньше $M_3N_3$ (т.е. $M_1N_1 < M_3N_3$ или $M_2N_2 < M_3N_3$), то задача не имеет решения, так как наклонные $AB$ и $AC$ не могут быть меньше перпендикуляра $AH$. В прямоугольных треугольниках $ABH$ и $ACH$ гипотенузы ($AB$ и $AC$) должны быть больше катета ($AH$).

2. Задача не имеет решения и в том случае, когда $M_1N_1 = M_2N_2 = M_3N_3$. Если $M_1N_1 = M_3N_3$, то в прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB$ равна катету $AH$, что возможно только если треугольник вырожден и точка $B$ совпадает с $H$. Аналогично, если $M_2N_2 = M_3N_3$, точка $C$ совпадает с $H$. Если все три отрезка равны, то точки $B$ и $C$ совпадают с точкой $H$, и треугольник $ABC$ вырождается в отрезок $AH$.

3. В остальных случаях задача имеет решение.

• Если $M_1N_1 > M_3N_3$, а $M_2N_2 = M_3N_3$, то задача имеет единственное решение: в этом случае точка $C$ совпадает с точкой $H$, и искомый треугольник $ABC$ является прямоугольным (рис. 149, в).
• Если $M_1N_1 > M_3N_3$, а $M_2N_2 = M_1N_1$, то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=AC$). Окружность с центром в $A$ и радиусом $AC$ пересечет прямую $BH$ в двух точках, симметричных относительно $H$, что дает два конгруэнтных треугольника, которые считаются одним решением (рис. 149, г).
• Если $M_1N_1 > M_3N_3$, $M_2N_2 > M_3N_3$ и $M_1N_1 \neq M_2N_2$, то задача имеет два решения. Окружность с центром в $A$ и радиусом $AC$ пересечет прямую $BH$ в двух различных точках $C$ и $C_1$, что приводит к построению двух неконгруэнтных треугольников $ABC$ и $ABC_1$ (рис. 149, д).

Ответ: Задача имеет решение только тогда, когда каждая из заданных сторон не меньше высоты ($M_1N_1 \ge M_3N_3$ и $M_2N_2 \ge M_3N_3$) и не все три отрезка равны между собой. Количество решений зависит от соотношения длин отрезков:

• Нет решений, если $M_1N_1 < M_3N_3$ или $M_2N_2 < M_3N_3$, или $M_1N_1 = M_2N_2 = M_3N_3$.
• Одно решение, если $M_1N_1 > M_3N_3$ и $M_2N_2 = M_3N_3$ (прямоугольный треугольник), или если $M_1N_1 > M_3N_3$ и $M_1N_1 = M_2N_2$ (равнобедренный треугольник).
• Два решения, если $M_1N_1 > M_3N_3$, $M_2N_2 > M_3N_3$ и $M_1N_1 \neq M_2N_2$.