Номер 347, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 347, страница 94.

Условие.

347. Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим неравнобедренный треугольник $ABC$. Проведём из вершины $B$ к стороне $AC$ высоту $BH$, биссектрису $BL$ и медиану $BM$. Точки $H$, $L$ и $M$ являются основаниями высоты, биссектрисы и медианы соответственно. Нам нужно доказать, что точка $L$ лежит на отрезке между точками $H$ и $M$.

Так как треугольник $ABC$ неравнобедренный, его стороны, прилежащие к вершине $B$, не равны, то есть $AB \neq BC$. Для определённости предположим, что $AB > BC$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому из неравенства $AB > BC$ следует, что $\angle C > \angle A$.

Доказательство проведём в два этапа, сравнивая взаимное расположение точек $H, L, M$ на прямой $AC$.

1. Сравнение положения оснований высоты и биссектрисы (точек H и L)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём $\angle ABH = 90^\circ - \angle A$.

Поскольку $BL$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABL = \frac{1}{2}\angle B$. Учитывая, что сумма углов треугольника $A+B+C = 180^\circ$, имеем $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$.
Следовательно, $\angle ABL = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}$.

Сравним углы $\angle ABH$ и $\angle ABL$. Найдём их разность:
$\angle ABH - \angle ABL = (90^\circ - \angle A) - (90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}) = 90^\circ - \angle A - 90^\circ + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{\angle C - \angle A}{2}$.

Так как мы предположили, что $\angle C > \angle A$, то $\angle C - \angle A > 0$, а значит, $\angle ABH - \angle ABL > 0$, откуда $\angle ABH > \angle ABL$.

Это означает, что луч $BL$ проходит между лучами $BA$ и $BH$. Следовательно, на стороне $AC$ точка $L$ лежит между точками $A$ и $H$.

2. Сравнение положения оснований медианы и биссектрисы (точек M и L)

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон:
$\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$.

По нашему предположению $AB > BC$, следовательно, $\frac{AL}{LC} > 1$, откуда $AL > LC$.

Так как $M$ — основание медианы, то $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC = \frac{1}{2}AC$.

Поскольку $AL > LC$ и $AL + LC = AC$, то $AL > \frac{1}{2}AC$, то есть $AL > AM$.

Это означает, что на стороне $AC$ точка $M$ лежит между точками $A$ и $L$.

Заключение

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, для случая $AB > BC$ мы имеем следующее расположение точек на стороне $AC$: точка $M$ лежит между $A$ и $L$ ($AL > AM$), а точка $L$ лежит между $A$ и $H$ ($AH > AL$). Таким образом, получаем порядок точек $A, M, L, H$. Из этого следует, что основание биссектрисы $L$ лежит между основанием медианы $M$ и основанием высоты $H$.

Если бы мы изначально предположили, что $AB < BC$, то все неравенства изменились бы на противоположные: $\angle C < \angle A$, $\angle ABH < \angle ABL$ и $AL < AM$. Это привело бы к порядку точек $A, H, L, M$. В этом случае основание биссектрисы $L$ также лежит между основанием высоты $H$ и основанием медианы $M$.

В равнобедренном треугольнике ($AB=BC$) высота, биссектриса и медиана, проведённые из вершины $B$, совпадают, и точки $H, L, M$ сливаются в одну. Условие задачи "неравнобедренный треугольник" как раз исключает этот случай.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы, проведённой из некоторой вершины, всегда лежит на отрезке, соединяющем основания медианы и высоты, проведённых из той же вершины.