Номер 353, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 353, страница 96.

Условие.

353 □ Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Задача состоит из двух частей: построение и анализ количества решений.

Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и дан отрезок $AB$. Требуется построить точку $X$, которая одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. Точка $X$ лежит на окружности $\omega$.
2. Точка $X$ равноудалена от концов отрезка $AB$, то есть расстояние $XA$ равно расстоянию $XB$ ($XA = XB$).

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m$.

Таким образом, искомая точка $X$ должна принадлежать как окружности $\omega$, так и прямой $m$. Следовательно, точка $X$ является точкой пересечения окружности $\omega$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$.

Алгоритм построения:

1. Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Для этого:
   • Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $AB$).
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую. Эта прямая и будет серединным перпендикуляром $m$ к отрезку $AB$.
2. Находим точки пересечения прямой $m$ и данной окружности $\omega$.
3. Полученные точки пересечения и будут искомыми точками.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения прямой (серединного перпендикуляра $m$) и окружности $\omega$. Возможны следующие случаи, зависящие от расстояния $d$ от центра окружности $O$ до прямой $m$:

• Два решения: Если прямая $m$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < R$).
• Одно решение: Если прямая $m$ касается окружности $\omega$, то есть имеет с ней только одну общую точку. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = R$).
• Нет решений: Если прямая $m$ не имеет общих точек с окружностью $\omega$. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > R$).

Ответ: Задача может иметь два, одно или ни одного решения, в зависимости от взаимного расположения окружности и серединного перпендикуляра к отрезку.