Номер 357, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 357, страница 96.

Условие.

357 ☐ На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:

1. Принадлежать данной окружности.
2. Быть равноудалённой от двух данных пересекающихся прямых.

Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудалённых от двух пересекающихся прямых, является пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Эти две биссектрисы являются взаимно перпендикулярными прямыми.

Следовательно, задача сводится к нахождению точек пересечения данной окружности и двух биссектрис углов, образованных данными прямыми.

Построение

Пусть дана окружность $ω$ и две пересекающиеся прямые $a$ и $b$.

1. Строим биссектрисы углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Обозначим их $b_1$ и $b_2$. Для построения биссектрисы угла с вершиной в точке $M$ (точка пересечения $a$ и $b$):
   • Проводим окружность произвольного радиуса с центром в точке $M$. Она пересечет прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$.
   • Из точек $A$ и $B$ проводим две дуги окружности одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись в некоторой точке $C$.
   • Прямая $MC$ является биссектрисой одного из углов.
   • Вторая биссектриса $b_2$ будет перпендикулярна $b_1$ и проходить через точку $M$.
2. Находим точки пересечения построенных биссектрис $b_1$ и $b_2$ с данной окружностью $ω$.

Полученные точки пересечения и будут искомыми точками, так как они одновременно лежат на окружности и равноудалены от прямых $a$ и $b$.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности с биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений зависит от числа точек пересечения окружности с двумя взаимно перпендикулярными прямыми (биссектрисами). Каждая прямая может пересекать окружность в 0, 1 или 2 точках.

Пусть $R$ – радиус окружности, $d_1$ и $d_2$ – расстояния от центра окружности до биссектрис $b_1$ и $b_2$ соответственно.

• 0 решений: Если окружность не пересекает ни одну из биссектрис (например, находится целиком в одном из четырех секторов, образованных биссектрисами, не касаясь их). Это происходит, когда $d_1 > R$ и $d_2 > R$.
• 1 решение: Если окружность касается одной из биссектрис ($d_1 = R$) и не пересекает другую ($d_2 > R$), или наоборот.
• 2 решения: Возможны два случая:
  • Окружность пересекает одну биссектрису в двух точках ($d_1 < R$), а другую не пересекает ($d_2 > R$), или наоборот.
  • Окружность касается обеих биссектрис ($d_1 = R$ и $d_2 = R$).
• 3 решения: Если окружность пересекает одну биссектрису в двух точках ($d_1 < R$) и касается другой ($d_2 = R$), или наоборот.
• 4 решения: Если окружность пересекает обе биссектрисы в двух точках каждая ($d_1 < R$ и $d_2 < R$).

Таким образом, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.