Номер 362, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 362, страница 96.

Условие.

362 Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения треугольника по стороне $c$, сумме двух других сторон $s$ и разности углов при этой стороне $\delta$ используется метод вспомогательного треугольника.

Анализ

Предположим, искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$. По условию известны $c$, $s = a+b$ и $\delta = |\angle A - \angle B|$. Для определенности будем считать, что $\angle A > \angle B$, и, следовательно, $\angle A - \angle B = \delta$.

Построим вспомогательную фигуру. На луче $AC$ отложим от точки $C$ отрезок $CD$, равный стороне $BC=a$. Тогда точка $D$ окажется на продолжении стороны $AC$, и длина отрезка $AD$ будет равна $AC + CD = b + a = s$.

В получившемся треугольнике $BCD$ две стороны равны ($CB = CD = a$), следовательно, он является равнобедренным. Углы при основании $BD$ равны: $\angle CBD = \angle CDB$.

Угол $\angle BCD$ является смежным с углом $\angle ACB = \angle C$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle BCD = 180^\circ - \angle C$. Сумма углов треугольника $BCD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^\circ$, или $2\angle CDB + (180^\circ - \angle C) = 180^\circ$, откуда получаем, что $\angle CDB = \frac{\angle C}{2}$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. В нем известны две стороны: $AB = c$ и $AD = s$. Найдем величину угла $\angle ABD$.$$ \angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle B + \angle CDB = \angle B + \frac{\angle C}{2} $$Поскольку сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$. Подставив это выражение, получим:$$ \angle ABD = \angle B + \frac{180^\circ - (\angle A + \angle B)}{2} = \angle B + 90^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A - \angle B}{2} $$Так как по условию $\angle A - \angle B = \delta$, то $\angle ABD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по двум сторонам ($c$ и $s$) и углу, противолежащему стороне $s$ ($\angle ABD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$).

После построения треугольника $ABD$ найти вершину $C$ несложно. Точка $C$ лежит на отрезке $AD$. Кроме того, по нашему построению $CB=CD$, то есть точка $C$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, точка $C$ есть точка пересечения отрезка $AD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Это рассуждение дает нам план построения.

Построение

Пусть даны три отрезка, задающие сторону $c$ и сумму сторон $s$, и угол $\delta$.

1. Построить угол, равный $\frac{\delta}{2}$, для чего построить биссектрису угла $\delta$.
2. Построить прямой угол ($90^\circ$).
3. Построить угол $\beta' = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$, вычтя из прямого угла угол $\frac{\delta}{2}$.
4. Провести произвольную прямую и отложить на ней отрезок $AB$, равный $c$.
5. От луча $BA$ построить луч $BM$ так, чтобы $\angle ABM = \beta'$.
6. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $s$.
7. Точку пересечения луча $BM$ и этой окружности обозначить $D$.
8. Соединить точки $A$ и $D$.
9. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
10. Точку пересечения серединного перпендикуляра и отрезка $AD$ обозначить $C$.
11. Соединить точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна $c$ по построению.
• Сумма сторон $AC + BC$ равна $s$. Действительно, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, поэтому $CB = CD$. Точка $C$ лежит на отрезке $AD$, поэтому $AC + CD = AD$. Следовательно, $AC + CB = AD$. По построению, $D$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $s$, значит $AD = s$. Таким образом, $AC + CB = s$.
• Разность углов $\angle CAB - \angle CBA$ равна $\delta$. Обозначим $\angle CAB = \angle A$ и $\angle CBA = \angle B$. В равнобедренном $\triangle BCD$ имеем $\angle CBD = \angle CDB = \angle ADB$. По построению $\angle ABD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$. Так как $\angle ABD = \angle B + \angle CBD = \angle B + \angle ADB$, то $\angle B + \angle ADB = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$. Сумма углов в $\triangle ABD$ равна $180^\circ$, т.е. $\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$, или $\angle A + (90^\circ - \frac{\delta}{2}) + \angle ADB = 180^\circ$, откуда $\angle A + \angle ADB = 90^\circ + \frac{\delta}{2}$. Вычитая из второго полученного равенства первое, имеем: $(\angle A + \angle ADB) - (\angle B + \angle ADB) = (90^\circ + \frac{\delta}{2}) - (90^\circ - \frac{\delta}{2})$, что дает $\angle A - \angle B = \delta$.

Все условия выполнены, следовательно, построенный треугольник является искомым.

Исследование

Решение задачи существует, если все шаги построения выполнимы. Основной шаг — нахождение точки $D$ как пересечения луча $BM$ и окружности $(A, s)$.

Для существования точки пересечения необходимо, чтобы радиус $s$ был не меньше расстояния от точки $A$ до прямой $BM$. Это расстояние равно $h = c \cdot \sin(\angle ABM) = c \cdot \sin(90^\circ - \frac{\delta}{2}) = c \cos(\frac{\delta}{2})$. Таким образом, должно выполняться $s \ge c \cos(\frac{\delta}{2})$.

Кроме того, для существования невырожденного треугольника $ABC$ его углы должны быть положительны. Из доказательства следует, что $\angle B = 90^\circ - \frac{\delta}{2} - \angle ADB$. Условие $\angle B > 0$ влечет за собой $\angle ADB < 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.

Если $s = c \cos(\frac{\delta}{2})$, то луч $BM$ касается окружности, $\angle ADB = 90^\circ$. Условие $90^\circ < 90^\circ - \frac{\delta}{2}$ не выполняется, поэтому решения нет.

Если $s > c \cos(\frac{\delta}{2})$, то луч пересекает окружность в двух точках, что дает два возможных угла $\angle ADB$: острый и тупой. Тупой угол не может удовлетворять условию $\angle ADB < 90^\circ - \frac{\delta}{2}$. Следовательно, подходит только решение с острым углом $\angle ADB$.

Условие $\angle ADB < 90^\circ - \frac{\delta}{2}$ для острого угла $\angle ADB$ эквивалентно $\sin(\angle ADB) < \sin(90^\circ - \frac{\delta}{2})$. По теореме синусов в $\triangle ABD$: $\sin(\angle ADB) = \frac{c \sin(\angle ABD)}{s} = \frac{c \cos(\frac{\delta}{2})}{s}$. Подставляем в неравенство:$$ \frac{c \cos(\frac{\delta}{2})}{s} < \cos(\frac{\delta}{2}) $$Так как $\cos(\frac{\delta}{2}) > 0$ для допустимых $\delta$, это неравенство эквивалентно $c < s$.

Таким образом, задача имеет единственное решение при выполнении условия $s > c$. Это условие совпадает с неравенством треугольника ($a+b>c$), которое необходимо для существования любого треугольника.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан в разделе "Построение". Задача имеет единственное решение, если данная сумма двух сторон $s$ больше данной стороны $c$.