Номер 361, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 361, страница 96.

Условие.

361 □ Постройте треугольник по периметру и двум углам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан отрезок, равный периметру $P$, и два угла $\alpha$ и $\beta$. Требуется построить треугольник $ABC$, у которого периметр равен $P$, а два угла при основании равны $\alpha$ и $\beta$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle B = \alpha$, $\angle C = \beta$ и $AB + BC + AC = P$. На прямой, содержащей сторону $BC$, отложим от точки $B$ отрезок $BD = AB$ в сторону, противоположную лучу $BC$, и от точки $C$ отрезок $CE = AC$ в сторону, противоположную лучу $CB$.

Тогда длина отрезка $DE$ будет равна $DB + BC + CE = AB + BC + AC = P$.

Рассмотрим $\triangle ADB$. Так как $BD = AB$ по построению, он является равнобедренным. Следовательно, углы при основании $AD$ равны: $\angle ADB = \angle DAB$. Угол $ABC$ является внешним для $\triangle ADB$. По свойству внешнего угла, $\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = 2 \angle ADB$. Поскольку $\angle ABC = \alpha$, то $\angle ADB = \frac{\alpha}{2}$.

Аналогично, $\triangle ACE$ является равнобедренным, так как $CE = AC$. Углы при основании $AE$ равны: $\angle AEC = \angle CAE$. Угол $ACB$ является внешним для $\triangle ACE$, поэтому $\angle ACB = \angle AEC + \angle CAE = 2 \angle AEC$. Поскольку $\angle ACB = \beta$, то $\angle AEC = \frac{\beta}{2}$.

Таким образом, анализ приводит нас к построению вспомогательного треугольника $ADE$. Мы можем построить его, так как известна его сторона $DE = P$ и два прилежащих к ней угла: $\angle D = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle E = \frac{\beta}{2}$.

После построения $\triangle ADE$, нам нужно найти вершины $B$ и $C$. Точка $B$ лежит на отрезке $DE$ и, по построению, $AB = DB$. Это означает, что точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Аналогично, точка $C$ лежит на отрезке $DE$ и $AC = CE$, следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $DE$, равный заданному периметру $P$.
2. Строим биссектрисы данных углов $\alpha$ и $\beta$ для получения углов $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.
3. От луча $DE$ в одной полуплоскости строим луч $DX$ так, чтобы $\angle EDX = \frac{\alpha}{2}$.
4. От луча $ED$ в той же полуплоскости строим луч $EY$ так, чтобы $\angle DEY = \frac{\beta}{2}$.
5. Точку пересечения лучей $DX$ и $EY$ обозначаем $A$. (Лучи пересекутся, так как сумма углов $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} < 90^{\circ}$, поскольку для существования искомого треугольника необходимо $\alpha + \beta < 180^{\circ}$).
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначаем $B$.
7. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначаем $C$.
8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

Во-первых, найдем его периметр. По построению, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$, следовательно, $AB = DB$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$, следовательно, $AC = CE$. Периметр $\triangle ABC$ равен $AB + BC + AC = DB + BC + CE = DE$. Так как длина отрезка $DE$ по построению равна $P$, то и периметр $\triangle ABC$ равен $P$.

Во-вторых, найдем его углы. В равнобедренном $\triangle ADB$ ($AB = DB$) углы при основании равны, $\angle DAB = \angle ADB = \frac{\alpha}{2}$. Угол $ABC$ является внешним углом для $\triangle ADB$, поэтому $\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$. Аналогично, в равнобедренном $\triangle ACE$ ($AC = CE$) $\angle CAE = \angle AEC = \frac{\beta}{2}$. Угол $ACB$ является внешним углом для $\triangle ACE$, поэтому $\angle ACB = \angle AEC + \angle CAE = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданный периметр $P$ и два угла, равные $\alpha$ и $\beta$. Построение верное.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше. Построение основано на создании вспомогательного треугольника $ADE$, где сторона $DE$ равна периметру искомого треугольника, а углы при этой стороне равны половинам данных углов; искомые вершины $B$ и $C$ затем находятся как пересечения стороны $DE$ с серединными перпендикулярами к сторонам $AD$ и $AE$.