Номер 365, страница 100 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 1. Многоугольники - номер 365, страница 100.

Условие.

365 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:

а) $90^\circ$

б) $60^\circ$

в) $120^\circ$

г) $108^\circ$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения величины внутреннего угла $\alpha$ правильного выпуклого $n$-угольника, так как по условию все углы равны.

Формула для величины внутреннего угла:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

Чтобы найти количество сторон $n$ при известном угле $\alpha$, выразим $n$ из этой формулы:

$\alpha \cdot n = (n-2) \cdot 180^\circ$

$\alpha \cdot n = 180^\circ \cdot n - 360^\circ$

$180^\circ \cdot n - \alpha \cdot n = 360^\circ$

$n(180^\circ - \alpha) = 360^\circ$

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$

Теперь, используя полученную формулу, найдем количество сторон для каждого случая.

а)

Если каждый угол равен $90^\circ$, то $\alpha = 90^\circ$.

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 90^\circ} = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$

Ответ: 4.

б)

Если каждый угол равен $60^\circ$, то $\alpha = 60^\circ$.

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 60^\circ} = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$

Ответ: 3.

в)

Если каждый угол равен $120^\circ$, то $\alpha = 120^\circ$.

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 120^\circ} = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$

Ответ: 6.

г)

Если каждый угол равен $108^\circ$, то $\alpha = 108^\circ$.

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 108^\circ} = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$

Ответ: 5.