Номер 371, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 371, страница 103.

Условие.

371 Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:

a) $ \angle BAC = \angle ACD $ и $ \angle BCA = \angle DAC $;

б) $ AB \parallel CD $, $ \angle A = \angle C $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

1. Сравним стороны $AB$ и $CD$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как по условию эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, то есть $AB \parallel CD$.

2. Сравним стороны $BC$ и $AD$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как по условию эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$, то есть $BC \parallel AD$.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), то по определению он является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$.

1. Проведем диагональ $AC$. Она делит углы $\angle A$ и $\angle C$ на две части: $\angle A = \angle BAC + \angle CAD$ и $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$.

2. Так как по условию $AB \parallel CD$, то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BAC = \angle ACD$.

3. По условию нам известно, что $\angle A = \angle C$. Запишем это равенство, используя разложение углов на части:
$\angle BAC + \angle CAD = \angle BCA + \angle ACD$.

4. Так как из пункта 2 мы знаем, что $\angle BAC = \angle ACD$, мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей равенства:
$(\angle BAC + \angle CAD) - \angle BAC = (\angle BCA + \angle ACD) - \angle ACD$
В результате получаем: $\angle CAD = \angle BCA$.

5. Углы $\angle CAD$ (он же $\angle DAC$) и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Поскольку мы доказали, что эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$, то есть $AD \parallel BC$.

6. В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ по условию и $AD \parallel BC$ по доказанному. Следовательно, по определению, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.