Номер 375, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 375, страница 103.

Условие.

375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм, у которого смежные стороны равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Рассмотрим биссектрису одного из углов параллелограмма, например, угла $A$ в параллелограмме $ABCD$. Пусть эта биссектриса $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы, образованные секущей, равны: $\angle KAD = \angle BKA$.

По определению, биссектриса $AK$ делит угол $A$ пополам: $\angle BAK = \angle KAD$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это означает, что треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $AB = BK$.

Таким образом, биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, у которого одна из сторон параллелограмма является боковой стороной.

По условию задачи, биссектриса делит сторону на отрезки 7 см и 14 см. Это означает, что одна из сторон параллелограмма ($b$) состоит из этих двух отрезков, то есть ее длина равна $7 + 14 = 21$ см. Другая сторона ($a$) равна одному из этих отрезков (так как $a = AB = BK$). В зависимости от того, какому из отрезков равна сторона $a$, возможны два случая.

Случай 1

Одна сторона параллелограмма равна 7 см, а другая — 21 см.

Пусть $a = 7$ см и $b = 7 + 14 = 21$ см.

Тогда периметр параллелограмма равен:

$P_1 = 2(a + b) = 2(7 + 21) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.

Случай 2

Одна сторона параллелограмма равна 14 см, а другая — 21 см.

Пусть $a = 14$ см и $b = 7 + 14 = 21$ см.

Тогда периметр параллелограмма равен:

$P_2 = 2(a + b) = 2(14 + 21) = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Ответ: 70 см.