Номер 376, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 376, страница 103.

Условие.

376 Найдите углы параллелограмма ABCD, если:

а) $\angle A = 84^\circ$;

б) $\angle A - \angle B = 55^\circ$;

в) $\angle A + \angle C = 142^\circ$;

г) $\angle A = 2\angle B$;

д) $\angle CAD = 16^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения углов параллелограмма ABCD воспользуемся его основными свойствами:

• Противоположные углы равны (например, $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$).
• Противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$).

а)

Дано: $\angle A = 84^\circ$.
По свойству противоположных углов параллелограмма, $\angle C = \angle A = 84^\circ$.
По свойству углов, прилежащих к одной стороне, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
Противоположный ему угол $\angle D$ также равен $96^\circ$, так как $\angle D = \angle B$.

Ответ: $\angle A = 84^\circ, \angle B = 96^\circ, \angle C = 84^\circ, \angle D = 96^\circ$.

б)

Дано: $\angle A - \angle B = 55^\circ$.
Также мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Получаем систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l} \angle A - \angle B = 55^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{array}\right.$
Сложив два уравнения, получим: $2\angle A = 235^\circ$, откуда $\angle A = 117.5^\circ$.
Подставив значение $\angle A$ во второе уравнение, найдем $\angle B$:
$117.5^\circ + \angle B = 180^\circ$, откуда $\angle B = 180^\circ - 117.5^\circ = 62.5^\circ$.
Противоположные углы равны: $\angle C = \angle A = 117.5^\circ$ и $\angle D = \angle B = 62.5^\circ$.

Ответ: $\angle A = 117.5^\circ, \angle B = 62.5^\circ, \angle C = 117.5^\circ, \angle D = 62.5^\circ$.

в)

Дано: $\angle A + \angle C = 142^\circ$.
По свойству противоположных углов, $\angle A = \angle C$.
Тогда уравнение можно переписать как $\angle A + \angle A = 142^\circ$, или $2\angle A = 142^\circ$.
Отсюда $\angle A = 142^\circ / 2 = 71^\circ$.
Следовательно, $\angle C = 71^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$.
Противоположный угол $\angle D = \angle B = 109^\circ$.

Ответ: $\angle A = 71^\circ, \angle B = 109^\circ, \angle C = 71^\circ, \angle D = 109^\circ$.

г)

Дано: $\angle A = 2\angle B$.
Воспользуемся свойством $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Подставим данное условие в это равенство: $2\angle B + \angle B = 180^\circ$.
Отсюда $3\angle B = 180^\circ$, и $\angle B = 180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Тогда $\angle A = 2\angle B = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.
Находим остальные углы: $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle D = \angle B = 60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 120^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 60^\circ$.

д)

Дано: $\angle CAD = 16^\circ, \angle ACD = 37^\circ$.
Эти углы являются частями углов параллелограмма $\angle A$ и $\angle C$, разделенных диагональю $AC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма его углов равна $180^\circ$.
$\angle D = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.
Противоположный угол $\angle B$ равен углу $\angle D$, т.е. $\angle B = 127^\circ$.
Так как стороны параллелограмма параллельны, то внутренние накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны:
$\angle BCA = \angle CAD = 16^\circ$ (при $BC \parallel AD$ и секущей $AC$).
$\angle BAC = \angle ACD = 37^\circ$ (при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$).
Теперь можем найти полные углы $\angle A$ и $\angle C$:
$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 37^\circ + 16^\circ = 53^\circ$.
$\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ$.

Ответ: $\angle A = 53^\circ, \angle B = 127^\circ, \angle C = 53^\circ, \angle D = 127^\circ$.