Номер 381, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 381, страница 104.

Условие.

381 На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы $O_1A$ и $O_2B$ равны. Стержень $AB$, длина которого равна расстоянию $O_1O_2$ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки $AB$ и $O_1O_2$ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Рис. 163

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим четырехугольник $O_1ABO_2$, вершинами которого являются центры колес $O_1$ и $O_2$ и точки крепления стержня $A$ и $B$.

Согласно условию задачи, нам дано:

• Колеса одинаковые, а значит, их радиусы равны. $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами этих колес, следовательно, $O_1A = O_2B$.
• Длина стержня $AB$ равна расстоянию между центрами колес $O_1O_2$. Таким образом, $AB = O_1O_2$.

В четырехугольнике $O_1ABO_2$ стороны $O_1A$ и $O_2B$ являются противолежащими, так же как и стороны $AB$ и $O_1O_2$. Мы видим, что в этом четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны.

Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Отсюда следует, что фигура $O_1ABO_2$ является параллелограммом. Это справедливо для общего случая, когда точки $O_1$, $A$, $B$, $O_2$ не лежат на одной прямой. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, отрезок $AB$ параллелен отрезку $O_1O_2$.

Также необходимо рассмотреть вырожденный случай, когда все четыре точки $O_1$, $A$, $B$, $O_2$ лежат на одной прямой. В этой ситуации параллелограмм "схлопывается" в отрезок. По определению, отрезки $AB$ и $O_1O_2$, являющиеся частями одной и той же прямой, лежат на одной прямой. Такая конфигурация не противоречит условиям задачи ($O_1A = O_2B$ и $AB = O_1O_2$).

Таким образом, мы доказали, что отрезки $AB$ и $O_1O_2$ в любом возможном случае либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Ответ: Четырехугольник $O_1ABO_2$ имеет попарно равные противоположные стороны ($O_1A = O_2B$ как радиусы одинаковых колес, и $AB = O_1O_2$ по условию). По признаку параллелограмма, $O_1ABO_2$ является параллелограммом (если его вершины не лежат на одной прямой), и следовательно $AB \parallel O_1O_2$. Если же вершины $O_1$, $A$, $B$, $O_2$ лежат на одной прямой, то и отрезки $AB$ и $O_1O_2$ лежат на одной прямой.