Номер 385, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 385, страница 105.

Условие.

385 Докажите теорему Фалеса¹: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой $l_1$ отложены равные отрезки $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую $l_2$ в точках $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки $B_1B_2$, $B_2B_3$, $B_3B_4$, ... равны друг другу. Докажем, например, что $B_1B_2 = B_2B_3$.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны (рис. 165, а). Тогда $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$ как противоположные стороны параллелограммов $A_1B_1B_2A_2$ и $A_2B_2B_3A_3$. Так как $A_1A_2 = A_2A_3$, то и $B_1B_2 = B_2B_3$. Если прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, то через точку $B_1$ проведём прямую $l$, параллельную прямой $l_1$ (рис. 165, б). Она пересечёт прямые $A_2B_2$ и $A_3B_3$ в некоторых точках $C$ и $D$. Так как $A_1A_2 = A_2A_3$, то по доказанному $B_1C = CD$. Отсюда получаем: $B_1B_2 = B_2B_3$ (задача 384). Аналогично можно доказать, что $B_2B_3 = B_3B_4$ и т. д.

Рис. 165

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть на прямой $l_1$ отложены последовательно равные отрезки $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, \dots$, так что $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots$. Через их концы $A_1, A_2, A_3, A_4, \dots$ проведены параллельные прямые, которые пересекают вторую прямую $l_2$ в точках $B_1, B_2, B_3, B_4, \dots$ соответственно. Требуется доказать, что отрезки, отсекаемые на прямой $l_2$, также равны между собой, то есть $B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = \dots$.

Для доказательства достаточно показать, что любые два соседних отрезка равны, например, что $B_1B_2 = B_2B_3$. Доказательство можно распространить на все последующие пары отрезков. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$)

Рассмотрим четырехугольники $A_1B_1B_2A_2$ и $A_2B_2B_3A_3$. В четырехугольнике $A_1B_1B_2A_2$ стороны $A_1A_2$ и $B_1B_2$ лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$, следовательно, $A_1A_2 \parallel B_1B_2$. По условию, прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ также параллельны. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $A_1B_1B_2A_2$ — параллелограмм.

Аналогично, в четырехугольнике $A_2B_2B_3A_3$ стороны $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ (так как лежат на $l_1$ и $l_2$) и $A_2B_2 \parallel A_3B_3$ (по условию). Следовательно, $A_2B_2B_3A_3$ — также параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Поэтому из первого параллелограмма получаем $A_1A_2 = B_1B_2$, а из второго $A_2A_3 = B_2B_3$. По условию задачи $A_1A_2 = A_2A_3$. Отсюда следует, что $B_1B_2 = B_2B_3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, то отрезки, отсекаемые на прямой $l_2$, равны.

Случай 2: прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны ($l_1 \not\parallel l_2$)

Проведем через точку $B_1$ прямую $l$, параллельную прямой $l_1$ ($l \parallel l_1$). Пусть эта прямая пересекает прямые $A_2B_2$ и $A_3B_3$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2CB_1$. По построению $B_1C \parallel A_1A_2$ (так как $l \parallel l_1$). По условию $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, а значит $A_1B_1 \parallel A_2C$. Следовательно, $A_1A_2CB_1$ — параллелограмм. Отсюда, $A_1A_2 = B_1C$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $A_2A_3DC$. По построению $CD \parallel A_2A_3$ (так как $l \parallel l_1$). Точки $C$ и $D$ лежат на прямых $A_2B_2$ и $A_3B_3$, которые параллельны по условию. Значит, $A_2C \parallel A_3D$. Следовательно, $A_2A_3DC$ — параллелограмм. Отсюда, $A_2A_3 = CD$.

Так как по условию $A_1A_2 = A_2A_3$, то из полученных равенств следует, что $B_1C = CD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle B_1CB_2$ и $\triangle B_2DB_3$. По условию $A_2B_2 \parallel A_3B_3$, а значит, прямые, содержащие отрезки $CB_2$ и $DB_3$, параллельны. Рассмотрим углы этих треугольников:

1. $\angle CB_1B_2 = \angle DB_2B_3$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_2B_2$ и $A_3B_3$ и секущей $l_2$.
2. $\angle B_1CB_2 = \angle B_2DB_3$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_2B_2$ и $A_3B_3$ и секущей $l$.
Мы уже доказали, что $B_1C = CD$.

Таким образом, мы рассматриваем два треугольника, у которых равны два угла. Этого недостаточно для доказательства их равенства. Однако мы можем применить обобщенную теорему Фалеса для угла $\angle DB_1B_3$. Стороны этого угла ($B_1D$ и $B_1B_3$) пересечены параллельными прямыми $B_2C$ и $B_3D$ (так как $A_2B_2 \parallel A_3B_3$). По теореме о пропорциональных отрезках:

$\frac{B_1B_2}{B_2B_3} = \frac{B_1C}{CD}$

Поскольку мы ранее доказали, что $B_1C = CD$, то отношение $\frac{B_1C}{CD} = 1$. Следовательно, $\frac{B_1B_2}{B_2B_3} = 1$, откуда $B_1B_2 = B_2B_3$.

Аналогично можно доказать, что $B_2B_3 = B_3B_4$ и так далее для всех последующих отрезков.

Ответ: Если прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, то отрезки, отсекаемые на прямой $l_2$, также равны.

Таким образом, в обоих случаях теорема доказана.