Номер 385, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 385, страница 105.

Условие.

385 Докажите теорему Фалеса¹: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой $l_1$ отложены равные отрезки $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую $l_2$ в точках $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки $B_1B_2$, $B_2B_3$, $B_3B_4$, ... равны друг другу. Докажем, например, что $B_1B_2 = B_2B_3$.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны (рис. 165, а). Тогда $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$ как противоположные стороны параллелограммов $A_1B_1B_2A_2$ и $A_2B_2B_3A_3$. Так как $A_1A_2 = A_2A_3$, то и $B_1B_2 = B_2B_3$. Если прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, то через точку $B_1$ проведём прямую $l$, параллельную прямой $l_1$ (рис. 165, б). Она пересечёт прямые $A_2B_2$ и $A_3B_3$ в некоторых точках $C$ и $D$. Так как $A_1A_2 = A_2A_3$, то по доказанному $B_1C = CD$. Отсюда получаем: $B_1B_2 = B_2B_3$ (задача 384). Аналогично можно доказать, что $B_2B_3 = B_3B_4$ и т. д.

Рис. 165

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.