Номер 386, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 386, страница 105.

Условие.

386 Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом, основанным на свойствах средней линии треугольника.

Дано:

$ABCD$ — трапеция.
$AD$ и $BC$ — основания, причём $AD \parallel BC$.
$AB$ и $CD$ — боковые стороны.
$M$ — середина стороны $AB$ ($AM = MB$).
$N$ — середина стороны $CD$ ($CN = ND$).

Доказать:

Отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Доказательство:

1. Проведем диагональ $AC$. Эта диагональ делит трапецию $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $K$ является серединой диагонали $AC$. Отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$ этого треугольника. По определению, $MK$ является средней линией $\triangle ABC$.

3. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, $MK \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Точка $N$ — середина стороны $CD$ (по условию), и точка $K$ — середина стороны $AC$. Отрезок $KN$ соединяет середины этих двух сторон, а значит, $KN$ является средней линией $\triangle ADC$.

5. По тому же свойству средней линии треугольника, $KN \parallel AD$.

6. По определению трапеции, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.
Из шага 3 мы знаем, что $MK \parallel BC$. По свойству транзитивности параллельных прямых, если $MK \parallel BC$ и $BC \parallel AD$, то $MK \parallel AD$.

7. Теперь у нас есть два утверждения: $MK \parallel AD$ (из шага 6) и $KN \parallel AD$ (из шага 5). Мы видим, что через точку $K$ проходят два отрезка ($MK$ и $KN$), которые параллельны одной и той же прямой $AD$. Согласно аксиоме о параллельных прямых (постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это означает, что отрезки $MK$ и $KN$ лежат на одной прямой.

8. Следовательно, точки $M$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой. Эта прямая содержит отрезок $MN$. Поскольку части этой прямой ($MK$ и $KN$) параллельны $AD$, то и вся прямая $MN$ параллельна $AD$.

9. Так как $MN \parallel AD$ и $AD \parallel BC$, то по свойству транзитивности $MN \parallel BC$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен её основаниям.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.