Номер 384, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 384, страница 104.

Условие.

384 Через середину $M$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Докажите, что $AN = NC$.

Решение

Через точку $C$ проведём прямую, параллельную прямой $AB$, и обозначим буквой $D$ точку пересечения этой прямой с прямой $MN$ (рис. 164). Так как $AM = MB$ по условию, а $MB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма $BCDM$, то $AM = DC$. Треугольники $AMN$ и $CDN$ равны по второму признаку равенства треугольников ($AM = CD$, $\angle1 = \angle2$ и $\angle3 = \angle4$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущими $AC$ и $MD$), поэтому $AN = NC$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Согласно условию, дан треугольник $ABC$, где $M$ — середина стороны $AB$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Необходимо доказать, что $AN = NC$.

1. Дополнительное построение. Проведём через точку $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Точку пересечения этой прямой с прямой $MN$ обозначим буквой $D$.

2. Анализ четырёхугольника $BCDM$.
По условию $MN \parallel BC$. Так как точка $D$ лежит на прямой $MN$, то $MD \parallel BC$.
По построению $CD \parallel AB$. Так как точка $M$ лежит на прямой $AB$, то $CD \parallel MB$.
Поскольку у четырёхугольника $BCDM$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

3. Свойства параллелограмма и условие задачи.
По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $MB = CD$.
По условию, $M$ — середина $AB$, значит, $AM = MB$.
Из этих двух равенств следует, что $AM = CD$.

4. Сравнение треугольников $\triangle AMN$ и $\triangle CDN$.
Рассмотрим эти два треугольника. У них:
- $AM = CD$ (как доказано выше).
- $\angle MAN = \angle DCN$ (на рисунке $\angle 1 = \angle 2$) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.
- $\angle AMN = \angle CDN$ (на рисунке $\angle 3 = \angle 4$) как накрест лежащие углы при пересечении тех же параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $MD$.

Таким образом, $\triangle AMN = \triangle CDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В данном случае используется признак равенства по стороне и двум углам (один прилежащий, другой противолежащий), что также является верным.

5. Вывод.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AN$ в $\triangle AMN$ соответствует стороне $NC$ в $\triangle CDN$. Следовательно, $AN = NC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AN=NC$ доказано.