Номер 378, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 378, страница 103.

Условие.

378 Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую $AB$. Отрезок $CD$ не имеет общих точек с прямой $AB$, так как $AB \parallel CD$. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой $AB$. Но тогда и отрезки $BC$ и $AD$ лежат по ту же сторону от прямой $AB$. Таким образом, параллелограмм $ABCD$ лежит по одну сторону от прямой $AB$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

По определению, многоугольник является выпуклым, если он целиком лежит в одной из двух замкнутых полуплоскостей, определяемых прямой, которая содержит любую из его сторон. Докажем, что параллелограмм удовлетворяет этому свойству.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Рассмотрим прямую, содержащую сторону $AB$. Поскольку сторона $CD$ параллельна стороне $AB$ ($CD \parallel AB$), отрезок $CD$ не пересекает прямую $AB$ (так как в невырожденном параллелограмме противолежащие стороны лежат на разных прямых). Это означает, что все точки отрезка $CD$, включая вершины $C$ и $D$, лежат в одной открытой полуплоскости относительно прямой $AB$.

Вершины $A$ и $B$ принадлежат самой прямой $AB$. Остальные стороны, $AD$ и $BC$, соединяют точки на прямой $AB$ (соответственно, $A$ и $B$) с точками, лежащими в одной полуплоскости от этой прямой (соответственно, $D$ и $C$). Следовательно, отрезки $AD$ и $BC$ (за исключением точек $A$ и $B$) также полностью лежат в той же полуплоскости.

Таким образом, все вершины и стороны параллелограмма $ABCD$ лежат в одной замкнутой полуплоскости, границей которой является прямая $AB$. Это означает, что весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой $AB$.

Аналогичные рассуждения можно провести для прямых, содержащих остальные стороны ($BC$, $CD$ и $DA$):

• Для прямой $BC$: так как $AD \parallel BC$, весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой $BC$.
• Для прямой $CD$: так как $AB \parallel CD$, весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой $CD$.
• Для прямой $DA$: так как $BC \parallel DA$, весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой $DA$.

Поскольку параллелограмм лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через любую из его сторон, он по определению является выпуклым четырёхугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.