Номер 374, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 374, страница 103.

Условие.

374 Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр этого параллелограмма, если $BK = 15$ см, $KC = 9$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. $AK$ — биссектриса угла $A$, точка $K$ принадлежит стороне $BC$.

1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

2. Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AK$. Следовательно, эти углы равны: $\angle DAK = \angle BKA$.

3. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $A$, поэтому она делит этот угол пополам: $\angle DAK = \angle BAK$.

4. Из равенств $\angle DAK = \angle BKA$ и $\angle DAK = \angle BAK$ следует, что $\angle BKA = \angle BAK$.

5. Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как два его угла равны ($\angle BKA = \angle BAK$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $AB = BK$.

6. По условию $BK = 15$ см, значит, длина стороны $AB$ также равна 15 см: $AB = 15$ см.

7. Сторона $BC$ состоит из отрезков $BK$ и $KC$. Найдем её длину:
$BC = BK + KC = 15 \text{ см} + 9 \text{ см} = 24$ см.

8. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Найдем периметр $P_{ABCD}$:
$P_{ABCD} = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (15 + 24) = 2 \times 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.