Номер 379, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 379, страница 104.

Условие.

379 ◻ Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, у которого $AB \neq BC$ и угол $A$ острый, проведены перпендикуляры $BK$ и $DM$ к прямой $AC$. Докажите, что четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы доказать, что четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажем, что стороны $BK$ и $DM$ равны и параллельны.

1. По условию задачи, $BK$ и $DM$ — перпендикуляры, проведенные к прямой $AC$. Это означает, что $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $BK \parallel DM$.

2. Теперь докажем, что длины отрезков $BK$ и $DM$ равны. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle CBK$ и $\triangle ADM$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны и параллельны. Значит, $BC = AD$ и $BC \parallel AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы при секущей равны, то есть $\angle BCA = \angle DAC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CBK$ (с прямым углом $\angle BKC = 90^\circ$) и $\triangle ADM$ (с прямым углом $\angle DMA = 90^\circ$). В этих треугольниках:

- Гипотенузы равны: $BC = AD$ (как противолежащие стороны параллелограмма).

- Острые углы равны: $\angle BCK = \angle DAM$ (как накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle CBK$ и $\triangle ADM$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BK = DM$.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике $BMDK$ противолежащие стороны $BK$ и $DM$ параллельны ($BK \parallel DM$) и равны ($BK = DM$).

По признаку параллелограмма, четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом, так как было доказано, что его противолежащие стороны $BK$ и $DM$ равны и параллельны.