Номер 383, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 383, страница 104.

Условие.

383 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что $PB = QD$. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма, согласно которому четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Мы докажем, что $AP = CQ$ и $AQ = CP$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADQ$ и $\triangle CBP$.

• $AD = CB$, так как это противоположные стороны параллелограмма $ABCD$.
• $QD = PB$ по условию задачи.
• $\angle ADQ = \angle CBP$ (они же $\angle ADB$ и $\angle CBD$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

Следовательно, $\triangle ADQ = \triangle CBP$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AQ = CP$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CDQ$.

• $AB = CD$, так как это противоположные стороны параллелограмма $ABCD$.
• $PB = QD$ по условию задачи.
• $\angle ABP = \angle CDQ$ (они же $\angle ABD$ и $\angle CDB$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.

Следовательно, $\triangle ABP = \triangle CDQ$ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AP = CQ$.

Таким образом, в четырехугольнике $APCQ$ мы доказали, что его противоположные стороны попарно равны: $AQ = CP$ и $AP = CQ$. По указанному выше признаку, четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $APCQ$ — параллелограмм.