Номер 389, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 389, страница 105.

Условие.

389 Докажите, что трапеция равнобедренная, если:

a) углы при основании равны;

б) диагонали трапеции равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($BC \parallel AD$), у которой углы при основании $AD$ равны: $\angle A = \angle D$. Необходимо доказать, что трапеция равнобедренная, то есть её боковые стороны равны ($AB = CD$).

Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$ постоянно, следовательно, $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. В них:
1. $BH = CK$ (как высоты трапеции).
2. $\angle A = \angle D$ (по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

Так как боковые стороны трапеции равны, она является равнобедренной, что и требовалось доказать.

Если по условию равны углы при меньшем основании $BC$ ($\angle B = \angle C$), то, так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, имеем: $\angle A = 180^\circ - \angle B$ и $\angle D = 180^\circ - \angle C$. Из равенства $\angle B = \angle C$ следует, что $\angle A = \angle D$, и задача сводится к рассмотренному выше случаю.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($BC \parallel AD$), у которой диагонали равны: $AC = BD$. Необходимо доказать, что трапеция равнобедренная, то есть $AB = CD$.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. В нём $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, поэтому $CE = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. По условию, $AC = BD$. Так как из построения мы получили $CE = BD$, то $AC = CE$. Это означает, что треугольник $\triangle ACE$ является равнобедренным с основанием $AE$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle CAE = \angle CEA$.

Поскольку $CE \parallel BD$, углы $\angle CEA$ и $\angle BDA$ являются соответственными при параллельных прямых $CE$, $BD$ и секущей $AE$. Следовательно, $\angle CEA = \angle BDA$.

Из равенств $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle CEA = \angle BDA$ следует, что $\angle CAE = \angle BDA$. Угол $\angle CAE$ — это тот же угол, что и $\angle CAD$. Таким образом, $\angle CAD = \angle BDA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$. У них:
1. $AD$ — общая сторона.
2. $AC = DB$ (по условию).
3. $\angle CAD = \angle BDA$ (доказано выше).

Следовательно, $\triangle ACD \cong \triangle DBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $CD = AB$.

Так как боковые стороны трапеции равны, она является равнобедренной, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.