Номер 394, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 394, страница 107.

Условие.

394 Даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками.

Поскольку данные точки A, B и C не лежат на одной прямой, они образуют вершины треугольника. Чтобы построить параллелограмм, три вершины которого совпадают с точками A, B и C, необходимо найти положение четвертой вершины, назовем ее D. В зависимости от того, какой из трех отрезков, соединяющих данные точки (AB, BC или AC), является диагональю будущего параллелограмма, существует три возможных варианта построения.

Случай 1. Отрезок AC является диагональю.
В этом случае параллелограмм будет называться ABCD. По свойству параллелограмма, его диагонали AC и BD должны пересекаться в одной точке и делиться этой точкой пополам.
Построение:
1. Соединяем точки A и C.
2. Находим точку M — середину отрезка AC.
3. Проводим прямую BM.
4. На прямой BM за точкой M откладываем отрезок MD, равный отрезку BM. Точка D — искомая четвертая вершина.
5. Соединяем последовательно точки A, B, C, D и получаем искомый параллелограмм ABCD.

Случай 2. Отрезок AB является диагональю.
В этом случае параллелограмм будет называться ACBD. Его диагонали AB и CD должны пересекаться в их общей середине.
Построение:
1. Соединяем точки A и B.
2. Находим точку N — середину отрезка AB.
3. Проводим прямую CN.
4. На прямой CN за точкой N откладываем отрезок ND, равный отрезку CN. Точка D — искомая четвертая вершина.
5. Соединяем последовательно точки A, C, B, D и получаем искомый параллелограмм ACBD.

Случай 3. Отрезок BC является диагональю.
В этом случае параллелограмм будет называться ABDC. Его диагонали BC и AD должны пересекаться в их общей середине.
Построение:
1. Соединяем точки B и C.
2. Находим точку P — середину отрезка BC.
3. Проводим прямую AP.
4. На прямой AP за точкой P откладываем отрезок PD, равный отрезку AP. Точка D — искомая четвертая вершина.
5. Соединяем последовательно точки A, B, D, C и получаем искомый параллелограмм ABDC.

Ответ: Построение выполняется одним из трех описанных выше способов.

Сколько таких параллелограммов можно построить?

Как следует из разбора задачи на построение, существует ровно три способа выбрать пару данных точек, которые будут образовывать диагональ параллелограмма: AC, AB или BC. Каждый из этих выборов однозначно определяет положение четвертой вершины D и, следовательно, приводит к построению одного уникального параллелограмма.
Эти три параллелограмма различны. Чтобы это доказать, можно сравнить положения их четвертых вершин. Пусть точки A, B, C заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Тогда четвертая вершина D в каждом из трех случаев будет определяться следующим образом:
• В случае 1 (диагональ AC): $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$
• В случае 2 (диагональ AB): $\vec{d_2} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$
• В случае 3 (диагональ BC): $\vec{d_3} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a}$
Если предположить, что какие-либо два из этих векторов равны, например $\vec{d_1} = \vec{d_2}$, то мы получим $\vec{a} + \vec{c} - \vec{b} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, что упрощается до $2\vec{c} = 2\vec{b}$, или $\vec{c} = \vec{b}$. Это означает, что точки B и C совпадают, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что $\vec{d_1} \neq \vec{d_3}$ и $\vec{d_2} \neq \vec{d_3}$. Таким образом, все три построенных параллелограмма имеют разные вершины и являются различными.
Так как других вариантов выбора диагонали нет, всего можно построить ровно три параллелограмма.

Ответ: Можно построить 3 таких параллелограмма.