Номер 400, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 400, страница 112.

Условие.

400 Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. В условии задачи дано, что в четырёхугольнике все углы прямые. Следовательно, для доказательства того, что этот четырёхугольник является прямоугольником, достаточно доказать, что он является параллелограммом.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Рассмотрим стороны $AD$ и $BC$ и секущую $AB$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle A$ и $\angle B$ равна: $\angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые, содержащие стороны $AD$ и $BC$, параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Аналогично, рассмотрим стороны $AB$ и $CD$ и секущую $BC$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle B$ и $\angle C$ равна: $\angle B + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, прямые, содержащие стороны $AB$ и $CD$, параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

Мы получили, что в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$). По определению, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Так как четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом и все его углы прямые (по условию), то он является прямоугольником по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.