Номер 404, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 404, страница 112.

Условие.

404 ☐ Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $CM$ — медиана, проведённая к гипотенузе $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, следовательно, $AM = MB$. Нам необходимо доказать, что длина медианы $CM$ равна половине длины гипотенузы $AB$, то есть $CM = \frac{1}{2}AB$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ACBD$. Для этого через вершину $A$ проведём прямую, параллельную катету $BC$, а через вершину $B$ — прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

В полученном четырехугольнике $ACBD$ противолежащие стороны попарно параллельны по построению ($AD \parallel CB$ и $BD \parallel AC$). Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм. Так как один из углов этого параллелограмма прямой ($\angle ACB = 90^\circ$), то параллелограмм $ACBD$ является прямоугольником.

Отрезки $AB$ и $CD$ являются диагоналями этого прямоугольника. Одно из основных свойств прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

Таким образом, $AB = CD$. Точка $M$, будучи серединой диагонали $AB$, является точкой пересечения диагоналей. Следовательно, точка $M$ также является и серединой диагонали $CD$.

Из того, что $M$ — середина $CD$, следует, что $CM = \frac{1}{2}CD$.

Так как $AB = CD$, мы можем в последнем равенстве заменить $CD$ на $AB$:

$CM = \frac{1}{2}AB$.

Это и есть утверждение, которое требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.