Номер 397, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 397, страница 107.

Условие.

397 ☐ Постройте равнобедренную трапецию $ABCD$:

а) по основанию $AD$, углу $A$ и боковой стороне $AB$;

б) по основанию $BC$, боковой стороне $AB$ и диагонали $BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) по основанию AD, углу A и боковой стороне AB

Построение равнобедренной трапеции $ABCD$ выполняется в следующей последовательности:
1. Построить прямую и отметить на ней точку $A$. От точки $A$ отложить отрезок $AD$, равный данному основанию.
2. В точке $A$ от луча $AD$ отложить угол, равный данному углу $A$.
3. На второй стороне построенного угла от точки $A$ отложить отрезок $AB$, равный данной боковой стороне.
4. Через точку $B$ провести прямую $l$, параллельную прямой $AD$.
5. В точке $D$ от луча $DA$ отложить угол, равный углу $A$ (так как в равнобедренной трапеции углы при основании равны). Вторая сторона этого угла пересечет прямую $l$ в искомой точке $C$.
6. Соединить точки $A, B, C, D$ последовательно. Четырехугольник $ABCD$ является искомой равнобедренной трапецией.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны по построению ($BC \in l$, $l \parallel AD$), следовательно, $ABCD$ — трапеция. Углы при основании $AD$ равны ($\angle DAB = \angle CDA$) по построению, значит, трапеция является равнобедренной. Элементы $AD$, $AB$ и $\angle A$ равны заданным.

Ответ: Искомая трапеция построена.

б) по основанию BC, боковой стороне AB и диагонали BD

Построение равнобедренной трапеции $ABCD$ выполняется в следующей последовательности:
1. Построить треугольник $BCD$ по трем известным сторонам: $BC$ (данное основание), $BD$ (данная диагональ) и $CD$, длина которой равна длине данной боковой стороны $AB$ (так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, $AB=CD$). Для этого:
а) Начертить отрезок $BC$ заданной длины.
б) Из точки $B$ провести дугу окружности радиусом, равным диагонали $BD$.
в) Из точки $C$ провести дугу окружности радиусом, равным боковой стороне $AB$.
г) Точка пересечения дуг будет вершиной $D$. (Построение возможно, если длины отрезков $BC$, $AB$ и $BD$ удовлетворяют неравенству треугольника).
2. Через точку $D$ провести прямую $m$, параллельную прямой $BC$.
3. Провести дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным данной боковой стороне $AB$.
4. Точка пересечения этой дуги и прямой $m$ будет искомой вершиной $A$. Если точек пересечения две, то следует выбрать ту, которая образует с точками $B, C, D$ выпуклый четырехугольник.
5. Соединить точки $A, B, C, D$ последовательно. Четырехугольник $ABCD$ является искомой равнобедренной трапецией.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны по построению ($AD \in m$, $m \parallel BC$), следовательно, $ABCD$ — трапеция. Боковые стороны $AB$ и $CD$ равны по построению, значит, трапеция является равнобедренной. Элементы $BC$, $AB$ и $BD$ равны заданным.

Ответ: Искомая трапеция построена.