Номер 401, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 401, страница 112.

Условие.

401 Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если биссектриса угла $A$ делит сторону:

а) $BC$ на отрезки 45,6 см и 7,85 см;

б) $DC$ на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, и пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $A$ прямоугольника, то $\angle BAK = \angle DAK = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике $\angle B = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $\angle BAK = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BKA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $ABK$ два угла равны ($\angle BAK = \angle BKA = 45^\circ$), он является равнобедренным. Отсюда следует, что стороны, лежащие против равных углов, равны: $AB = BK$.

По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной $45,6$ см и $7,85$ см. Это отрезки $BK$ и $KC$. Поскольку $AB = BK$, то длина стороны $AB$ равна длине одного из этих отрезков. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Длина отрезка $BK$ равна $45,6$ см, а длина $KC$ равна $7,85$ см.

В этом случае длина стороны $AB$ прямоугольника равна $AB = BK = 45,6$ см.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков: $BC = BK + KC = 45,6 + 7,85 = 53,45$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$.

$P = 2(45,6 + 53,45) = 2 \cdot 99,05 = 198,1$ см.

Случай 2: Длина отрезка $BK$ равна $7,85$ см, а длина $KC$ равна $45,6$ см.

В этом случае длина стороны $AB$ прямоугольника равна $AB = BK = 7,85$ см.

Длина стороны $BC$ равна: $BC = BK + KC = 7,85 + 45,6 = 53,45$ см.

Периметр прямоугольника равен:

$P = 2(AB + BC) = 2(7,85 + 53,45) = 2 \cdot 61,3 = 122,6$ см.

Так как в условии не указано, какой из отрезков прилегает к вершине $B$, оба случая являются решением задачи.

Ответ: $198,1$ см или $122,6$ см.

б)

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, и пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $DC$ в точке $K$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $A$ прямоугольника, то $\angle DAK = \angle BAK = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADK$. В этом треугольнике $\angle D = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $\angle DAK = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $ADK$ два угла равны ($\angle DAK = \angle AKD = 45^\circ$), он является равнобедренным. Отсюда следует, что стороны, лежащие против равных углов, равны: $AD = DK$.

По условию, точка $K$ делит сторону $DC$ на отрезки длиной $2,7$ дм и $4,5$ дм. Это отрезки $DK$ и $KC$. Поскольку $AD = DK$, то длина стороны $AD$ равна длине одного из этих отрезков. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Длина отрезка $DK$ равна $2,7$ дм, а длина $KC$ равна $4,5$ дм.

В этом случае длина стороны $AD$ прямоугольника равна $AD = DK = 2,7$ дм.

Длина стороны $DC$ равна сумме длин отрезков: $DC = DK + KC = 2,7 + 4,5 = 7,2$ дм.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(AD + DC)$.

$P = 2(2,7 + 7,2) = 2 \cdot 9,9 = 19,8$ дм.

Случай 2: Длина отрезка $DK$ равна $4,5$ дм, а длина $KC$ равна $2,7$ дм.

В этом случае длина стороны $AD$ прямоугольника равна $AD = DK = 4,5$ дм.

Длина стороны $DC$ равна: $DC = DK + KC = 4,5 + 2,7 = 7,2$ дм.

Периметр прямоугольника равен:

$P = 2(AD + DC) = 2(4,5 + 7,2) = 2 \cdot 11,7 = 23,4$ дм.

Так как в условии не указано, какой из отрезков прилегает к вершине $D$, оба случая являются решением задачи.

Ответ: $19,8$ дм или $23,4$ дм.