Номер 408, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 408, страница 112.

Условие.

408 Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) диагональ делит его угол пополам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. Они оба являются прямоугольными, так как $AC \perp BD$, а значит $\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$. Катет $BO$ является общим для этих двух треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

Сопоставляя полученные равенства, мы видим, что все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, в котором диагональ $AC$ делит угол $\angle A$ пополам. Это означает, что $\angle BAC = \angle DAC$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Следовательно, эти углы равны: $\angle BCA = \angle DAC$.

Из условия, что $\angle BAC = \angle DAC$, и из того, что $\angle BCA = \angle DAC$, следует равенство $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как в нём два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны, поэтому $AB = BC$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

Таким образом, все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.