Номер 410, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 410, страница 112.

Условие.

410 □ Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали:

а) равны и взаимно перпендикулярны;

б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину;

в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) равны и взаимно перпендикулярны
Нет, не обязательно. Если диагонали четырехугольника равны и взаимно перпендикулярны, это не гарантирует, что он является квадратом. Главное условие, которое может не выполняться — то, что диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Рассмотрим контрпример: четырехугольник с вершинами в точках $A(0, 8)$, $B(-5, 0)$, $C(0, -2)$, $D(5, 0)$.
Его диагонали $AC$ и $BD$ лежат на координатных осях $OY$ и $OX$ соответственно, следовательно, они взаимно перпендикулярны.
Найдем длины диагоналей:
Длина $AC = \sqrt{(0-0)^2 + (8 - (-2))^2} = \sqrt{10^2} = 10$.
Длина $BD = \sqrt{(5 - (-5))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{10^2} = 10$.
Таким образом, диагонали равны ($AC = BD = 10$) и взаимно перпендикулярны.
Теперь найдем длины сторон этого четырехугольника:
$AB = \sqrt{(-5-0)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{25+64} = \sqrt{89}$.
$BC = \sqrt{(0-(-5))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$.
Поскольку стороны четырехугольника не равны ($AB \ne BC$), он не является квадратом (и даже не ромбом).
Ответ: нет, не обязательно.

б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину
Нет, не обязательно. Четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом.
1. Если диагонали четырехугольника имеют общую середину (делятся точкой пересечения пополам), то по признаку параллелограмма этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
Однако не каждый ромб является квадратом. Квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы прямые, а это выполняется только если его диагонали равны. В данном условии равенство диагоналей не гарантируется. Например, ромб с диагоналями 6 и 8 см не является квадратом.
Ответ: нет, не обязательно. Такой четырехугольник является ромбом.

в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину
Да, является. Совокупность этих трёх свойств однозначно определяет квадрат.
Рассмотрим доказательство по шагам, используя свойства и признаки четырехугольников:
1. Так как диагонали четырехугольника имеют общую середину (делятся точкой пересечения пополам), то этот четырехугольник является параллелограммом.
2. Так как у этого параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), то он является ромбом. Это означает, что все его стороны равны ($AB=BC=CD=DA$).
3. Так как у этого ромба диагонали равны ($AC=BD$), то он является квадратом. (Ромб является квадратом тогда и только тогда, когда его диагонали равны).
Таким образом, четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, является квадратом.
Ответ: да, является.