Номер 407, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 407, страница 112.

Условие.

407 Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб. По условию, один из его углов равен $45^\circ$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

$\alpha = 45^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба (как и у любого параллелограмма), равна $180^\circ$. Поэтому второй угол ромба, обозначим его $\beta$, равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Таким образом, у ромба есть два противолежащих угла по $45^\circ$ и два других противолежащих угла по $135^\circ$.

Основное свойство диагоналей ромба заключается в том, что они являются биссектрисами его углов. Это означает, что каждая диагональ делит угол, из которого она выходит, на два равных угла.

Одна диагональ будет делить пополам углы, равные $45^\circ$. Углы, которые эта диагональ образует со сторонами ромба, будут равны:

$\frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$

Вторая диагональ будет делить пополам углы, равные $135^\circ$. Углы, которые эта диагональ образует со сторонами ромба, будут равны:

$\frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$

Таким образом, диагонали образуют со сторонами ромба углы двух величин: $22.5^\circ$ и $67.5^\circ$. В качестве проверки можно заметить, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катетами этих треугольников являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба. Острые углы каждого такого треугольника как раз и являются искомыми углами. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$: $22.5^\circ + 67.5^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $22.5^\circ$ и $67.5^\circ$.