Номер 409, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 409, страница 112.

Условие.

409 Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство:

1. По определению, ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть дан ромб ABCD. Это означает, что $AB = BC = CD = DA$.

2. Так как ромб является параллелограммом, для него выполняются все свойства параллелограмма:

• противоположные углы равны;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

3. По условию задачи один из углов ромба является прямым. Пусть $\angle A = 90^\circ$.

4. Используя свойства параллелограмма, найдем величины остальных углов ромба:

• Противоположный угол $\angle C$ равен углу $\angle A$, следовательно, $\angle C = 90^\circ$.
• Угол $\angle B$ прилежит к той же стороне, что и угол $\angle A$, значит, их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
• Противоположный угол $\angle D$ равен углу $\angle B$, следовательно, $\angle D = 90^\circ$.

5. Таким образом, мы имеем четырехугольник ABCD, у которого все стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).

6. Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, по определению является квадратом.

Следовательно, ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.