Номер 415, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 415, страница 113.

Условие.

415 □ Постройте квадрат:

а) по стороне;

б) по диагонали.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) по стороне

Пусть дан отрезок, длина которого равна стороне квадрата $a$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

1. На произвольной прямой $l$ выберем точку $A$ и отложим от нее отрезок $AB$, равный по длине стороне $a$. Этот отрезок будет одной из сторон квадрата.
2. В точке $A$ построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$. Для этого построим окружность с центром в $A$ произвольного радиуса, пересекающую прямую $l$ в двух точках. Затем построим две дуги с центрами в этих точках и одинаковым радиусом (большим, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна $AB$.
3. На перпендикулярной прямой $m$ отложим отрезок $AD$, равный $AB$ ($AD = a$).
4. Построим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
5. Построим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
6. Точка пересечения этих двух дуг будет четвертой вершиной квадрата $C$.
7. Соединим точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны $a$, а угол $∠DAB = 90°$.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.

б) по диагонали

Пусть дан отрезок, длина которого равна диагонали квадрата $d$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

1. Построим отрезок $AC$, равный по длине диагонали $d$. Этот отрезок будет одной из диагоналей квадрата.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем две дуги окружности одинакового радиуса $R$ (где $R > AC/2$) до их взаимного пересечения. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, является серединным перпендикуляром к $AC$. Пусть $O$ — точка пересечения отрезка $AC$ и серединного перпендикуляра.
3. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому вторая диагональ $BD$ лежит на построенном серединном перпендикуляре, а ее половины $OB$ и $OD$ равны половине диагонали $AC$, то есть $OA$.
4. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
5. Точки пересечения этой окружности с серединным перпендикуляром будут двумя другими вершинами квадрата — $B$ и $D$.
6. Последовательно соединим отрезками вершины $A$, $B$, $C$ и $D$.
7. Четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.