Номер 413, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 413, страница 112.

Условие.

413 Постройте прямоугольник:

a) по двум смежным сторонам;

б) по стороне и диагонали;

в) по диагонали и углу между диагоналями.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) по двум смежным сторонам

Пусть даны два отрезка $a$ и $b$ — длины смежных сторон прямоугольника.
1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим от точки $A$ на прямой отрезок $AB$, равный $a$.
3. Построим прямую, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $AB$. Для этого можно построить две окружности с центрами в $A$ и $B$ одинакового радиуса (больше половины $AB$) и провести прямую через точки их пересечения, либо воспользоваться построением перпендикуляра из точки на прямой.
4. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный $b$.
5. Построим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
6. Построим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным $a$.
7. Точка пересечения этих дуг будет четвертой вершиной прямоугольника $C$.
8. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как по построению его противоположные стороны попарно равны ($AB=CD=a$, $AD=BC=b$) и один из углов прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник, построенный по двум смежным сторонам $a$ и $b$.

б) по стороне и диагонали

Пусть даны два отрезка $a$ и $d$ — длины стороны и диагонали прямоугольника соответственно (при этом должно выполняться условие $d > a$).
1. Построим прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный стороне $a$.
2. Построим прямую, проходящую через точку $B$ и перпендикулярную прямой $AB$.
3. Построим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным диагонали $d$.
4. Точка пересечения этой дуги и перпендикулярной прямой будет третьей вершиной прямоугольника $C$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $B$.
5. Для нахождения четвертой вершины $D$ построим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $BC$ (длина второго катета).
6. Построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $a$.
7. Точка пересечения этих дуг (в полуплоскости, не содержащей точку B относительно прямой AC) будет четвертой вершиной $D$.
8. Соединим отрезками точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник, построенный по стороне $a$ и диагонали $d$.

в) по диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны отрезок $d$ — длина диагонали, и угол $\alpha$ — угол между диагоналями.
1. Построим две пересекающиеся прямые, угол между которыми равен $\alpha$. Пусть точка их пересечения — $O$.
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Вычислим половину длины диагонали, $d/2$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку длиной $d$.
3. На одной из построенных прямых отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки $OA$ и $OC$, равные $d/2$.
4. На второй прямой также отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки $OB$ и $OD$, равные $d/2$.
5. Последовательно соединим отрезками вершины $A, B, C, D$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Так как его диагонали равны ($AC = BD = d$), то этот параллелограмм является прямоугольником. Таким образом, $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник, построенный по диагонали $d$ и углу $\alpha$ между диагоналями.