Номер 412, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 412, страница 112.

Условие.

412 Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетом $AC = 12 \text{ см}$ и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с прямым углом $C$. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC = 12$ см. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны и составляют $\angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Квадрат $CDEF$ расположен так, что его стороны $CD$ и $CF$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$. Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = DE = EF = FC = x$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Он образуется отрезком гипотенузы $AE$, отрезком катета $AD$ и стороной квадрата $DE$. Так как точка $D$ лежит на катете $AC$, то длина отрезка $AD$ равна разности длин $AC$ и $CD$:
$AD = AC - CD = 12 - x$.

Поскольку $CDEF$ — квадрат, его сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, которая лежит на катете $BC$. Значит, $DE \parallel BC$. Так как $BC \perp AC$, то и $DE \perp AC$. Следовательно, угол $\angle ADE = 90^\circ$, и треугольник $ADE$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ADE$ мы знаем один острый угол: $\angle A = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому второй острый угол $\angle AED$ равен:
$\angle AED = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $ADE$ два угла равны ($\angle A = \angle AED = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, то есть $AD = DE$.

Теперь мы можем составить уравнение, подставив известные нам выражения для $AD$ и $DE$:
$12 - x = x$
$12 = 2x$
$x = 6$ см.

Мы нашли, что сторона квадрата равна 6 см. Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4x$:
$P = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.