Номер 405, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 405, страница 112.

Условие.

405 В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите:

а) углы ромба;

б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб $ABCD$, у которого все стороны равны $a$. По условию, одна из диагоналей, например $AC$, равна стороне ромба. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = AC = a$.

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$. В этом треугольнике все три стороны равны: $AB = BC = AC = a$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle ABC = 60^\circ$.

По свойствам ромба, его противоположные углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$.

Угол, противоположный углу $\angle ABC$, это $\angle ADC$. Следовательно, $\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$.

Углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ являются соседними к углу $\angle ABC$ и равны между собой. Найдем их величину:

$\angle BAD = \angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

б)

По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его углов. Это означает, что они делят углы ромба пополам.

Диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$. Эти углы равны $120^\circ$. Следовательно, углы, которые диагональ $AC$ образует со сторонами ромба, равны:

$\angle BAC = \angle DAC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

$\angle BCA = \angle DCA = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Другая диагональ, $BD$, является биссектрисой углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$. Эти углы равны $60^\circ$. Следовательно, углы, которые диагональ $BD$ образует со сторонами ромба, равны:

$\angle ABD = \angle CBD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

$\angle ADB = \angle CDB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Таким образом, диагонали ромба образуют с его сторонами углы в $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.