Номер 398, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 398, страница 107.

Условие.

398 Постройте прямоугольную трапецию $ABCD$ по основаниям и боковой стороне $AD$, перпендикулярной к основаниям.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения прямоугольной трапеции $ABCD$ по заданным основаниям и боковой стороне $AD$, перпендикулярной к основаниям, воспользуемся следующим алгоритмом. Пусть нам даны три отрезка, задающие длины оснований ($b_1$ и $b_2$) и высоту ($h$), равную боковой стороне $AD$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $m$ и выберем на ней точку $A$.
2. Восстановим в точке $A$ перпендикуляр к прямой $m$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AD$, длина которого равна заданной высоте $h$.
4. Через точку $D$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $AD$. По свойству перпендикулярных прямых, прямая $p$ будет параллельна прямой $m$ ($p \parallel m$).
5. На прямой $m$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$ длиной $b_1$ (длина первого основания).
6. На прямой $p$ от точки $D$ отложим отрезок $DC$ длиной $b_2$ (длина второго основания) так, чтобы точки $B$ и $C$ лежали по одну сторону от прямой $AD$.
7. Соединим отрезком точки $B$ и $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомой прямоугольной трапецией.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

По построению, прямая $AB$ (прямая $m$) и прямая $DC$ (прямая $p$) параллельны, так как они обе перпендикулярны прямой $AD$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $DC$.

Также по построению, боковая сторона $AD$ перпендикулярна основаниям $AB$ и $DC$. Это означает, что углы при вершинах $A$ и $D$ прямые: $\angle DAB = \angle ADC = 90^\circ$. Следовательно, трапеция $ABCD$ является прямоугольной.

Длины сторон, согласно построению, равны заданным величинам: длина основания $AB$ равна $b_1$, длина основания $DC$ равна $b_2$, и длина боковой стороны $AD$ равна $h$.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямоугольная трапеция строится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе "Построение".