Номер 395, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 395, страница 107.

Условие.

395 Даны острый угол $hk$ и два отрезка $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$. Постройте параллелограмм $ABCD$ так, чтобы расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DC$ равнялось $P_1Q_1$, $AB = P_2Q_2$ и $\angle A = \angle hk$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения параллелограмма $ABCD$, удовлетворяющего заданным условиям, выполним следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

1. Анализ задачи

Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. По условию, сторона $AB$ должна быть равна отрезку $P_2Q_2$, угол при вершине $A$ ($\angle A$) должен быть равен данному острому углу $\angle hk$, а расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DC$ (т.е. высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$) должно равняться отрезку $P_1Q_1$.

Это означает, что мы можем последовательно построить элементы параллелограмма. Сначала строим сторону $AB$ на некоторой прямой. Затем находим геометрическое место точек для вершины $D$. Вершина $D$ должна, во-первых, лежать на луче, выходящем из точки $A$ под углом $\angle hk$ к лучу $AB$, и, во-вторых, находиться на расстоянии $P_1Q_1$ от прямой $AB$. Пересечение этих двух геометрических мест точек даст нам вершину $D$. После нахождения вершин $A$, $B$ и $D$ четвертая вершина $C$ достраивается однозначно.

2. Построение

1. Проведем произвольную прямую $a$. Выберем на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $a$ от точки $A$ отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $P_2Q_2$.
3. Построим прямую $b$, параллельную прямой $a$ и находящуюся на расстоянии, равном отрезку $P_1Q_1$. Для этого:
   • В точке $A$ восставим перпендикуляр к прямой $a$.
   • На этом перпендикуляре отложим отрезок $AH$, равный $P_1Q_1$.
   • Через точку $H$ проведем прямую $b$, параллельную прямой $a$ (перпендикулярную к $AH$). Прямая $b$ будет содержать сторону $DC$ параллелограмма.
4. В точке $A$ построим угол, равный данному углу $\angle hk$, так, чтобы одной его стороной был луч $AB$. Пусть второй стороной будет луч $k$.
5. Точка пересечения луча $k$ и прямой $b$ является вершиной $D$ искомого параллелограмма. Поскольку угол $\angle hk$ острый, луч $k$ не параллелен прямой $b$, поэтому точка пересечения $D$ существует и единственна.
6. Для нахождения вершины $C$ отложим на прямой $b$ от точки $D$ отрезок $DC$, равный и сонаправленный отрезку $AB$ (то есть равный $P_2Q_2$).
7. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

3. Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB$ лежит на прямой $a$, а сторона $DC$ — на прямой $b$. По построению $a \parallel b$, следовательно, $AB \parallel DC$. Также по построению $AB = P_2Q_2$ и $DC = P_2Q_2$, значит, $AB = DC$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

Проверим выполнение условий задачи:

• Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DC$ по построению равно длине отрезка $AH$, то есть равно $P_1Q_1$.
• Длина стороны $AB$ по построению равна $P_2Q_2$.
• Угол $\angle A$ параллелограмма (то есть $\angle DAB$) по построению равен $\angle hk$.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Ответ: Искомый параллелограмм $ABCD$ построен в соответствии с описанным выше методом.