Номер 396, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 396, страница 107.

Условие.

396 Разделите данный отрезок $AB$ на $n$ равных частей.

Решение

Проведём луч $AX$, не лежащий на прямой $AB$, и на нём от точки $A$ отложим последовательно $n$ равных отрезков $AA_1$, $A_1A_2$, ..., $A_{n-1}A_n$ (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок $AB$ (на рисунке 167 $n=5$). Проведём прямую $A_nB$ (точка $A_n$ — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки $A_1$, $A_2$, ..., $A_{n-1}$ и параллельные прямой $A_nB$. Эти прямые пересекают отрезок $AB$ в точках $B_1$, $B_2$, ..., $B_{n-1}$, которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок $AB$ на $n$ равных частей.

Рис. 167

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для того чтобы разделить данный отрезок $AB$ на $n$ равных частей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Из точки $A$ проведём произвольный луч $AX$, не лежащий на прямой $AB$.

2. На луче $AX$, начиная от точки $A$, отложим последовательно $n$ равных между собой отрезков произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков точками $A_1, A_2, \dots, A_n$. Таким образом, мы получим отрезки $AA_1, A_1A_2, \dots, A_{n-1}A_n$, причём $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n$.

3. Соединим последнюю точку $A_n$ на луче $AX$ с точкой $B$ исходного отрезка, получив прямую $A_nB$.

4. Через точки $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ проведём прямые, параллельные прямой $A_nB$. Эти прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$ соответственно.

Согласно обобщённой теореме Фалеса, если на одной стороне угла (в нашем случае это угол $XAB$) отложить равные отрезки ($AA_1 = A_1A_2 = \dots$) и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то и на второй стороне угла (на отрезке $AB$) отсекутся равные между собой отрезки. Следовательно, $AB_1 = B_1B_2 = \dots = B_{n-1}B$.

Таким образом, отрезок $AB$ будет разделен на $n$ равных частей точками $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$. На рисунке в задаче показан пример для $n=5$.

Ответ: Построенные точки $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$ делят отрезок $AB$ на $n$ равных частей.